النشر بواسطة العامل المرافق، قاعدة كرامر:

نتطرق في هذا البند إلى طريقة مهمة ومفيدة لحساب المحددان، ونتيجة لعملنا هنا سنحصل على صيغة لمعكوس المصفوفة القابلة للانعكاس، إضافة إلى صيغة لحل أنظمة خطية معينة بلغة المحددات.

تعريف (1-1):

مصغر العنصر a_ij في المصفوفة المربعة، يكتب ،M_ij، هو محدد المصفوفة الجزئية الناتجة من حذف الصف رقم i أو العمود رقم j في المصفوفة A العدد (-1)^i+j M_ij، يكتب C_ij، يعرف بأنه العامل المرافق  للعنصر a_ij .

ملاحظة:

نلاحظ من خلال التعريف أعلاه أن المصغر والعامل المرافق للعنصر a_ij يختلفان فقط بالإشارة أي أن، C_ij =± M_ij

وبما أن الإشارات تأتي بشكل متناوب وأن إشارات القطر الرئيسي دائماً موجبة ولسهولة حفظ هذه الإشارات ومواقعها يمكننا عمل الشكل الآتي:

مثال(1):

النشر بالعوامل المرافقة:

من المثال (7) في)داله المحدد) إذا كانت

ولما كانت المقادير المحصورة بين قوسين تمثل العوامل المرافقة C₃₁, C₂₁, C₁₁ على التوالي، فإن:

تبين المعادلة اعلاه أن محدد A يمكن إيجاده بجمع نواتج ضرب عناصر العمود الاول للمصفوفة A في مرافقاتها ومن ثم جمع نواتج الضرب.

طريقة حساب محدد A هذه تسمى  النشر بالعوامل المرافقة بواسطة العمود الاول.

مثال(3):

نفرض

احسب |A| باستخدام طريقة النشر بالعوامل المرافقة بدلالة الصف الأول.

الحل: نجد العوامل المرافقة لعناصر الصف الأول في A.

ملاحظة:

1. يمكن إجراء النشر بالمرافق بدلالة أي صف أو أي عمود من المصفوفة A.

2. بالإمكان تعميم المعادلة (1) للمصفوفة A التي سعتها n x n.

3. أن أفضل طريقة للنشر تتم بدلالة الصف أو العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار فإذا كان a_ij = 0 ففي هذه الحالة لا تحتاج للمقدار C_ij.

مثال(3) :

احسب محدد المصفوفة A

لاحظ أن من الأفضل النشر بدلالة الصف الثالث أو العمود الثاني لأن كل منهما يحتوي على أكبر عدد من الأصفار. نسب المحدد بدلالة الصف الثالث.

النتائج التي حصلنا عليها بالنسبة للمصفوفة التي سعتها 3 ×3 تمثل حالة خاصة من المبرهنة العامة الآتية والتي سنذكرها بدون برهان.

مبرهنة (1-2):

يمكن حساب محدد المصفوفة التي سعتها n x n، بجمع حاصل ضرب عناصر أي صف (عمود) بعواملها المرافقة.

أي أن لكل

هذه العلاقة تمثل نشر العوامل المرافقة بدلالة العمود j.

أما

فتمثل النشر بدلالة الصف رقم i.

تعريف (1-3):

إذا A مصفوفة سعتها n × n و C_ij العامل المرافق للعنصر a_ij ، فمصفوفة العوامل المرافقة هي:

المصفوفة المصاحبة  لـ A، يرمز لها (A) adj،  هي منقولة مصفوفة العوامل المرافقة. أي :

مثال (4):

مبرهنة (1-3):

إذا كانت A مصفوفة قابلة للانعكاس فإن:

البرهان:

نبرهن أولاً أن A. adj (A) = |A|. I_n

باستخدام قاعدة ضرب المصفوفات نحصل على:

العنصر في الصف رقم i والعمود j في حاصل ضرب A. adj (A) هو:

إذا كان I = j فإن (4) تمثل النشر بالعامل المرافق لمحدد A بدلالة الصف رقم i في المصفوفة A (مبرهنة 1-2).

أما إذا I ≠ j فإن (4) يجب أن تساوي صفر لأن العناصر a's والعوامل المرافقة تأتي من صفوف A المختلفة. عليه فإن قيمة (4) تساوي صفر.

مثال(5):

استخدم الصيغة (6) لإيجاد معكوس المصفوفة

الحل:

توجد محدد A أولاً باستخدام العلاقة (6) والمثال (3):

مثال (6):

 احسب A^-1 إن وجدت مستخدما العلاقة (3).

الحل:

1. نحسب محدد A:

بما أن محدد A يساوي 10 ، فإن A قابلة للانعكاس.

2. نجد المصفوفة المرافقة

3. مصفوفات المرافقات:

4. عليه   adj (المصفوفة المصاحبة)

5. نستخدم العلاقة

قاعدة كرامر:

المبرهنة التالية ستقدم صيغة أخرى من الصيغ المهمة في حل أنظمة المعادلات الخطية التي تحتوي على n من المعادلات و n من المتغيرات هذه الطريقة مهمة أيضاً من خلال دراسة خواص حلول الأنظمة الخطية دون الحاجة للدخول في تفاصيل الحل الطويلة.

مبرهنة (1-4): ليكن AX = B نظام خطي يحتوي على n من المعادلات و n من المتغيرات بحيث أن det (A) ≠ 0، فإن هناك حلاً وحيداً للنظام . هذا الحل هو:

حيث أن (j = 1,2, … , n) هو المصفوفة التي نحصل عليها باستبدال عناصر العمود رقم j في المصفوفة A بعناصر المصفوفة B حيث:

البرهان:

بما أن |A| ≠ 0 ، فإن A قابلة لانعكاس، وبموجب مبرهنة X = A^-1B هو الحل الوحيد للنظام AX = B

لذا وبموجب المبرهنة (1-3) نحصل على:

بما أن A_j تختلف عن A فقط في العمود j، فإن العوامل المرافقة للعناصر b₁ , b₂, … b_n في A_j هي نفسها العوامل المرافقة المقابلة لعناصر العمود j في A.

لذا بنشر المحدد|A_j| بعناصر العمود رقم j نحصل:

بتعويض هذه النتيجة في: ((7 نحصل على :

مثال(7):

باستخدام قاعدة كرامر حل النظام الخطي:

الحل:

نجد محدد المصفوفة A:

وباستخدام قاعدة كرامر:

مثال(8):

حل النظام الآتي:

الحل:

نجد محدد A: