تطبيقات اقتصادية على التكامل:
ذكرنا فيما سبق أن التكامل هو عملية عكسية للتفاضل (الاشتقاق)، وبذلك فإن التكامل يتم إجرائه على المشتقة الأولى بمسمياتها المختلفة (معدل التغير في الدالة، ميل الدالة، الدوال الحدية) وذلك بهدف إيجاد الدالة الأصلية وذلك كما يلي:
1. الإيراد الكلي: يعني إيجاد تكامل الإيراد الحدي.
حيث أن الإيراد الحدي يمثل المشتقة الأولى لدالة الإيراد الكلي كما يلي:
فإن دالة الايراد الكلي تمثل تكامل دالة الايراد الحدي:
2. التكلفة الكلية: تعني إيجاد تكامل التكلفة الحدية.
حيث أن التكلفة الحدية تمثل المشتقة الأولى لدالة التكلفة الكلية كما يلي:
فإن دالة التكلفة الكلية تمثل تكامل دالة التكلفة الحدية:
3 ـ الربح الكلي: يعني إيجاد تكامل الربح الحدي.
حيث أن الربح الحدي يمثل المشتقة الأولى لدالة الربح الكلي كما يلي:
فإن دالة الربح الكلي تمثل تكامل دالة الربح الحدي:
4. دالة الاستهلاك تعني إيجاد تكامل الميل الحدي للاستهلاك.
حيث أن الميل الحـدي للاستهلاك يمثل المشتقة الأولى لدالة الاستهلاك كما يلي:
فإن دالة الاستهلاك تمثل تكامل دالة الميل الحدي للاستهلاك
5. دالة الادخار: تعني إيجاد تكامل الميل الحدي للادخار.
حيث أن الميل الحدي للادخار يمثل المشتقة الأولى لدالة الادخار كما يلي:
فإن دالة الادخار تمثل تكامل دالة الميل الحدي للادخار:
6. دالة الإنتاج (دالة الإنتاجية): تعني إيجاد تكامل دالة الإنتاجية الحدية للعامل.
حيث أن الإنتاجية الحدية تمثل المشتقة الأولى لدالة الإنتاج كما يلي:
فإن دالة الانتاج تمثل تكامل دالة الإنتاجية الحدية للعامل:
مثال: إذا كانت دالة التكلفة الحدية لإحدى المنشآت على الصورة التالية:
المطلوب: أوجد دالة التكلفة الكلية إذا علمت أن التكاليف الكلية تساوي 200 دينار عند إنتاج 15 وحدة.
الحل:
دالة التكلفة الكلية = تكامل دالة التكلفة الحدية
وحيث أن التكاليف الكلية 200 عند إنتاج 10 وحدات بالتعويض لإيجاد قيمة ثابت التكامل.
وبذلك تكون دالة التكلفة الكلية كما يلي:
TC = 0.2Q3 - 0.1Q2 + 60 + 130
مثال: إذا كانت دالة الإيراد الحدي لإحدى الشركات كما يلي:
MR = 0.5Q4 +5
المطلوب: أوجد دالة الإيراد الكلي، ثم أوجد قيمتها عندما 3 = Q، وثابت التكامل
C=100
الحل:
دالة الإيراد الكلي = تكامل دالة الإيراد الحدي
مثال: إذا كان معدل التغير في الربح بالنسبة لوحدة الإنتاج يتحدد طبقاً للعلاقة
= - 100Q + 500 π
المطلوب: تحديد دالة الربح الكلي، إذا كان الربح المتوقع عند إنتاج 10 وحدات هو 150 دينار.
الحل:
الربح الكلي: تكامل الربح الحدي (معامل التغير في الربح)
اذن دالة الربح الكلي هي:
π = 50Q + 500Q + 150
