الفصل السابع
النهايات العظمى والصغرى للدوال متعددة المتغيرات
Maximum & Minimum of Multivariable function
النهايات العظمى والصغرى للدوال متعددة المتغيرات وغير المقيدة (الأمثلية للدوال الاقتصادية متعددة المتغيرات وغير المقيدة)
نفرض أن لدينا الدالة التالية Z = f (x ,y) ، حيث أن x , y متغيران مستقلان ولكي تكون هذه الدالة عند نهايتها العظمى أو الصغرى يجب توافر الشروط الآتية:
1- الشرط اللازم: المشتقات الجزئية الأولى لهذه الدالة يجب أن تساوي صفراً، أي أن:
2- الشرط الكافي: أن تكون قيم المشتقات الجزئية الثانية للدالة عند القيم الحرجة كما يلي:
- أن تكون موجبة في حالة النهايات الصغرى، أي أن:
- أن تكون سالبة في حالة النهايات العظمي، أي أن:
- أما إذا كانت قيم المشتقات الجزئية الثانية الرئيسية للدالة تساوي صفر، يكون للدالة نقطة انقلاب أو نقطة انعطاف.
3- أما لمعرفة كون الدالة في حالتها العظمي أو الصغرى (المثلى) عند النظر إليها من جميع الاتجاهات فيجب أن تكون قيمة حاصل ضرب المشتقات الجزئية الثانية الرئيسية ببعضها عند القيم الحرجة أكبر من قيمة مربع المشتقة الجزئية الثانية المتقاطعة أي أن:
ويمكن تلخيص شروط النهايات العظمى والصغرى للدوال ذات متغيرين (f (x , y = Z كما يلي:
خطوات الحل:
إذا كان لدينا الدالة على الصورة:
Z = f (x, y)
فإنه يلزم لإيجاد النهايات العظمى والصغرى إتباع الخطوات التالية:
1- إيجاد المشتقات الجزئية الأولى:
2 - مساواة المشتقات الجزئية الأولى بالصفر لإيجاد قيم المتغيرات:
3- إيجاد المشتقات الجزئية الثانية الرئيسية:
4- بالتعويض عن قيم المتغيرات السابقة إيجادها من الخطورة رقم (2) في المشتقات الجزئية الثانية الرئيسية.
- فإذا كانت إشارة المشتقات الجزئية الثانية سالبة بمعنى أن:
يكون للدالة نهاية عظمى.
- إذا كانت إشارة المشتقات الجزئية الثانية موجبة بمعنى أن:
يكون للدالة نهاية صغرى.
- عندما يكون للدالة نهاية عظمى أو نهاية صغرى يجب أن يكون حاصل ضرب المشتقات الجزئية الرئيسية أكبر من مربع المشتقة المتقاطعة:
مثال: إذا كانت دالة التكاليف الكلية لمصنع ميس الذي ينتج نوعين من السلع على الصورة التالية
TC = 2Q21 + Q22 - 60Q1 - 50Q2 + 80
حيث أن Q2 , Q1 يمثلان حجم الإنتاج من السلعتين
المطلوب: أوجد حجم الإنتاج Q1 , Q2 الذين يحققان أقل تكلفة كلية ممكنة.
الحل:
- دالة التكاليف الكلية (TC) هي:
TC = 2Q21 + Q22 - 60Q1 - 50Q2 + 80
لتحديد حجم الانتاج الذي يخفض دالة التكلفة الكلية بالنسبة لحجم الإنتاج نتبع الخطوات التالية:
ــ إيجاد المشتقات الجزئية الأولى:
- المشتقات الجزئية الثانية الرئيسية:
حيث أن المشتقات الجزئية الثانية الرئيسية موجبة يكون لدالة التكاليف الكلية نهاية صغرى عندما 15 = Q2 = 25, Q1
مثال: ينتج مصنع أحمد للأثاث نوعين من الأثاث هما (21) وكانت دوال الطلب على السلعتين كما يلي:
P = - 2Q1 - Q2 + 100
P = - 2Q1 - 3Q2 + 150
حيث أن:
P2, P1: أسعار السلعتين.
Q 2 , Q1: حجم الإنتاج من السلعتين.
المطلوب: تحديد حجم الإنتاج الواجب إنتاجية من كلا السلعتين ((Q2 , Q1 الذين يحققان أقصى إيراد ممكن.
الحل:
حيث ان المطلوب: هو تعظيم دالة الإيراد الكلي بالنسبة لحجم الإنتاج فإن:
الإيراد الكلي = إيراد السلعة الأولى + إيراد السلعة الثانية
= الكمية المطلوبة من السلعة الأولى × سعرها + الكمية المطلوبة من السلعة الثانية × سعرها
ولتحديد حجم الانتاج الذي يعظم دالة الإيراد الكلي بالنسبة لحجم الإنتاج نتبع الخطوات التالية:
1- إيجاد المشتقات الجزئية الأولى:
2 - مساواة المشتقات الجزئية الأولى بالصفر.
إعادة ترتيب المعادلات كما يلي:
يتم استخدام طريقة الحذف (أو التعويض) لحل المعادلتين: بضرب المعادلة الأولى × 2
حيث أن المشتقات الجزئية الثانية الرئيسية سالبة يكون لدالة الايراد الكلي نهاية عظمى عند إنتاج 10 وحدات من النوع الأول، 20 وحدة من النوع الثاني.
