مثال: ينتج مصنع أحمد للرخام نوعين من الرخام هما (2,1)، وكانت دوال الطلب على النوعين على الصورة التالية:
P = 10 – Q1 + 2Q2
P = 50 + 2Q1 – Q2
وكانت دالة التكلفة الكلية (TC) على الصورة التالية:
TC = 8Q1 Q2 + Q22 – 94Q1 − 76Q2 + 2000
المطلوب: باستخدام دالة لاجرانج (Lagrange) أوجد قيمة Q1,Q2 الذين يحققان أقصى ربح ممكن للمصنع، علماً بأن المصنع يمكنه إنتاج 30 وحدة فقط من كلا النوعين.
5 ـ صياغة دالة لاجرانج كما يلي:
إعادة ترتيب المعادلات ثم الحل بطريقة الحذف للتعويض.
حيث أن المشتقات الجزئية الثانية الرئيسية سالبة يكون لدالة الربح نهاية عظمى. مثال: ينتج مصنع ميس للأجهزة الكهربائية نوعين من الأجهزة (12) ، فإذا كانت دالة الريح على الصورة التالية:
π = −2Q21 + 70Q1 + 2Q1 Q2 + 30Q2 – Q22 – 500
- فإذا علمت إن المصنع يمكنه إنتاج 40 وحدة فقط من كلا الجهازين.
المطلوب باستخدام دالة لاجرانج (Lagrange) أوحد حجم الإنتاج Q2 , Q1 الذين يحققان أقصى ربح ممكن.
حيث أن إشارة المشتقات الجزئية الثانية الرئيسية سالبة يكون لدالة الإنتاج نهاية
عظمى عندما (L=10), (20 = K).
مثال: أوجد النهاية الصغرى للدالة باستخدام دالة لاجرانج:
الحل:
5- إيجاد المشتقات الجزئية الأولى لدالة لاجرانج بالنسبة لكل من 3X, X2, 1X
وكذلك بالنسبة لمعاملات لاجرانج 1و2
