الفصل السادس
الاشتقاق
Partial Derivatives
مقدمة:
تناولنا فيما سبق العديد من الدوال التي تحتوي على متغيرين فقط أحدهما متغير تابع (y) والآخر متغير مستقل (x) وكانت الدالة تأخذ الصورة (y = f(x أو على الصورة c = ax + dy ، ولكن في الحياة العملية نجد العديد من الدوال التي تحتوي أكثر من متغير فالدوال الاقتصادية تتضمن العديد من المتغيرات المستقلة ومنها على سبيل المثال، نجد أن دالة الطلب لسلعة ما لا تعتمد على سعر ا الأصلية فحسب وإنما تعتمد الكمية المطلوبة على سعر السلعة الأصلية، وسعر السلعة البديلة، وسعر السلعة المكملة، بالإضافة إلى دخل المستهلك وحجم المنفق على الدعاية، الإعلان، وذوق المستهلك... الخ.
Q a = f (Pa, Pb, Pe, y, T, M)
حيث أن:
Q a: الكمية المطلوبة من السلعة (a).
P a: سعر السلعة (a).
P b: سعر السلعة البديلة.
Pe: سعر السلعة المكملة.
y: الدخل.
T: حجم المنفق على الدعاية والإعلان.
:Mذوق المستهلك.
كذلك فإن حجم الإنتاج لسلعة ما يعتمد أيضاً على الكثير من المتغيرات منها الأرض، ورأس المال، وحجم العمل والتنظيم، ولقياس التغير الذي يطرأ على الدالة نتيجة تغير أي من هذه المتغيرات نستخدم أسلوب الاشتقاق الجزئي.
المشتقات الجزئية الأولى:
ولإيجاد المشتقات الجزئية نستخدم نفس قواعد الاشتقاق السابق تناولهـا مـع ملاحظة أنه في حالة الاشتقاق الجزئي فإن التعامل يكون مع دوال تشتمل على أكثر من متغير مستقل وبالتالي تتعدد المشتقات الجزئية التي يمكن الحصول عليها من الدالة الواحدة، حيث يتم حساب مشتقة الدالة بالنسبة لكل متغير من المتغيرات المستقلة كل على حدة.
ولا يختلف أسلوب إيجاد المشتقات الجزئية عن أسلوب إيجاد المشتقات للدوال ذات المتغير المستقل الواحد إلا في معاملة باقي المتغيرات المستقلة حيث تعامل باقي المتغيرات خلاف المتغير الذي يتم الاشتقاق بالنسبة له معاملة المقدار الثابت.
فإذا كان لدينا الدالة Z دالة في متغيرين هما(x) وهذا يعني أن قيمة Z تعتمد على قيمة كل من المتغيرينx , y .
Z = f (x, y)
حيث أن المتغيرين (x, y) متغيرات مستقلة Independent variables، ويسمى (z) متغير تابع Dependent variables، ولإيجاد المشتقات الجزئية الأولى
للدالة z يتم إجراء اشتقاق الدالة بالنسبة لكل متغير على حدة مع اعتبار المتغير الآخر بمثابة مقدار ثابت فإذا كانت الدالة ( Z =f ( x ,y.
فإن المشتقات الجزئية الأولى هي:
- المشتقة الجزئية الأولى بالنسبة لـ (x) ويرمز لهـا بـالرمز 
ويعامل (y)
كمقدار أو رقم ثابت.
- المشتقة الجزئية الأولى بالنسبة لـ (y) ويرمز لها بالرمز
ويعامل (x) كمقدار أو رقم ثابت.
إذا كانت لدينا الدالة h = f (x ,y ,z)
فإن هذه الدالة تحتوي على ثلاث متغيرات مستقلة وبالتالي يكون لها ثلاث متغيرات جزئية أولي كما يلي:
- المشتقة الجزئية الأولى بالنسبة لـ (x) ويرمز لها بالرمز 
وتعامــل بـاقي المتغيرات (y ,z) معاملة المقادير أو الأرقام الثابتة.
- المشتقة الجزئية الأولى بالنسبة لـ (y) ويرمز لها بالرمز
وتعامل باقي المتغيرات (x, z) كمقادير أو الأرقام الثابتة.
- المشتقة الجزئية الأولى بالنسبة لـ (z) ويرمز لها بالرمز
، وتعامل باقي المتغيرات (x ,y) كمقادير أو أرقام الثابتة.
والأمثلة التالية توضح كيفية إيجاد المشتقات الجزئية الأولى.
مثال: أوجد المشتقات الجزئية الأولى للدوال الآتية:
Z =10x2 +5y3 - 1
