تسجيل الدخول

تسجيل

نموذج بلترامي - كلاين (Klein – Beltrami (Model)

المؤلف:  جلال الحاج عبد

المصدر:  نظرية النسبية العامة لأينشتاين

الجزء والصفحة:  ص39

2026-03-23

322

هذا النموذج عبارة عن دائرة y (دائرة مطلقه) مركزها O ونصف قطرها R واقعة على الصفحة الإقليدية داخل هذه الدائرة هو عبارة عن مجموعة النقاط X الواقعة داخل هذه الدائرة بحيث X<OR في هذا النموذج النقاط داخل الدائرة هي نقاط الصفحة الهذلوليه، كذلك أوتار هذه الدائرة في هذا النموذج هي خطوط الصفحة الهذلولية. في هذا النموذج النقطتان A وB متمايزتان داخل الدائرة y وهناك وتر وحيد يمر من كلا هاتين النقطتين في هذا النموذج النقاط الواقعة على محيط الدائرة هي نقاط مثاليه ولا تمثل نقاط الصفحة الهذلوليه.

في الشكل المقابل الوتران الماران من النقطة P يوازيان الوتر L من الدائرة y (يجب التذكير بأن الصيغة المعدلة لمسلمة التوازي في الهندسه الهذلوليه هي من نقطه لا على مستقيم معلوم يمكن مرور أكثر من مستقيم يمر من هذه النقطة ولا يقطع المستقيم المعلوم) يستند نظام القياس في هذا النموذج على طول المستقيم وقيمة الزاوية زاويتان مساويتان إذا كانت قيمة كل زاوية تساوي الأخرى، ومستقيمان مساويان إذا كان طول كل مستقيم يساوي الآخر لا يمكن الأكتفاء بطول المستقيم في هذا النموذج كما هو الحال في نموذج الصفحة الإقليدية، وحتى لا يأخذ كل مستقيم (خط) طول معين أقل أو يساوي نصف قطر الدائرة ، لإن هذا يتنافى مع مفهوم اللا تناهي في هذا النموذج، يجب ا أعطاء الطول أو الفاصلة تعريفاً جديداً.

تعريف الفاصلة في هذا النموذج بالشكل التالي:

نفرض أن AB هي الفاصلة الإقليديه بين A وB إذن الفاصلة في هذا النموذج هي:

هناك نموذج آخر باسم نموذج بوانكاريه Poincare Model أطلب من القارئ مراجعته و مطالعته. جميع نماذج الصفحة الهذلوليه متشاكلة (Isomorphs) مع بعضها الغرض من عرض نموذج بلترامي - كلاين و التذكير بنموذج بوانكاريه هو لمعرفة هذه النماذج الهندسية التي يمكن من خلالها تبسيط الفكرة الأساسية التي يصعب تجسيدها و تصورها عملياً، وكما لاحظنا كيف ظهرت بعض الخواص الهندسية و أخذت تعاريف جديدة تتناسب مع المسلمات والقضايا الهندسية للفكرة الأساسية، هذه النماذج تسوقنا لإثبات التواؤم بين الهندسه الإقليديه و اللا إقليديه نموذج بسيط وتعاريف بسيطة متوائمه مع الواقع تسوقنا لمفاهيم و أمور جديدة بعض الأحيان يصعب تصورها و حتى إدراكها كظهور النقطه المثالية في هذا النموذج و كيفية رفع إشكالية الطول و الفاصله، فعلى سبيل المثال الفاصله بین A و B عندما تسعى B نحو P تصبح مالانهاية .