من خلال هذه القضايا سنتعرف على كيفية الاستعانة بمسلمة التوازي في الهندسة الهذلولية لإثبات قضايا هذه الهندسة، قضايا لا يمكن إثباتها ولا تحقيقها في الهندسة الإقليدية، لكن من خلال هذه المسلمة يمكن إقامة برهان على هذه القضايا وإعطائها بعداً عملياً في الفضاء الهذلولي. هذه القضايا هي:
القضية 1: يوجد مثلث مجموع زواياه أقل من 180 درجه
البرهان نفرض ان p نقطه لا على المستقيم L استنادا على مسلمة التوازي في الهندسه الهذلوليه نرسم مستقيمان موازيان للخط L من النقطة p نرمز لهما m وn.
أي مجموع زاويتان من المثلث القائم الزاوية PROΔ أقل من 90 درجه وبالتالي مجموع زوايا المثلث PROΔ أقل من 180 درجه.
أحد نتائج هذه القضيه هي عدم وجود مستطيل في الهندسه الهذلوليه (المستطيل مجموع زواياه الداخلية 360 درجه)
القضيه 2: في الهندسه الهذلوليه، من أي نقطه لا على المستقيم L، يمكن مرور على الأقل مستقيمان يوازيان المستقيم L
البرهان
- من النقطة P نرسم عمود PQ على المستقيم L، وكذلك من هذه النقطة نرسم المستقيم m عمود على PQ.
- ننتخب النقطة R على المستقيم L ومنها نرسم المستقيمtعمود على L.
- من النقطة P نرسم العمود PS عمود على t.
المستقيم m والعمود PS غير منطبقان لأن لو كانت S منطبقة على m ففي هذه الحاله EPSRO مستطيل، وقد برهنا على عدم وجود مستطيل في الهندسه الهذلوليه (مجموع زواياه 360 درجه لأن مجموع زوايا المثلث أقل من 180 درجه
إذن المستقيمان PS وm موازيان للمستقيم L ليست هذه القضيه برهان مطلق المسلمة التوازي في الهندسه الهذلوليه هذا البرهان كان بالإستناد على رباعي لامبرت ويعتمد هو الآخر على مسلمة التوازي)
القضيه :3 في الهندسه الهذلوليه، إذا كان المستقيمان L وL، موازيان على الأكثر هناك نقطتان علىL بنفس الفاصلة من L'.
البرهان
نفرض أن هناك نقطة ثالثه على L هي كذلك بنفس الفاصلة من L' الرباعي '□BB'AA و □BBCC و □ACAC هن
رباعي ساكري (في رباعي ساكري الزوايا المجاورة للقاعدة قائمه والأضلاع المقابلة لهذه الزاويتان متساويتان)
هذه الزاويتان مكملتان لذلك جميع رباعيات ساكري في هذا الشكل هي مستطيلات ولا وجود للمستطيل في الهندسه الهذلوليه وهذا تناقض، إذن A وB وC لسن بنفس الفاصلة من 'L.
