المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
غزوة الحديبية والهدنة بين النبي وقريش
2024-11-01
بعد الحديبية افتروا على النبي « صلى الله عليه وآله » أنه سحر
2024-11-01
المستغفرون بالاسحار
2024-11-01
المرابطة في انتظار الفرج
2024-11-01
النضوج الجنسي للماشية sexual maturity
2024-11-01
المخرجون من ديارهم في سبيل الله
2024-11-01


lausen Function  
  
1808   04:47 مساءً   date: 9-8-2019
Author : Arfken, G.
Book or Source : Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.
Page and Part : ...


Read More
Date: 17-9-2019 1346
Date: 21-7-2019 1506
Date: 13-6-2019 2640

lausen Function

ClausenFunction

Define

S_n(x) = sum_(k=1)^(infty)(sin(kx))/(k^n)

(1)

C_n(x) = sum_(k=1)^(infty)(cos(kx))/(k^n),

(2)

then the Clausen functions are defined by

 Cl_n(x)={S_n(x)=sum_(k=1)^(infty)(sin(kx))/(k^n)   n even; C_n(x)=sum_(k=1)^(infty)(cos(kx))/(k^n)   n odd,

(3)

sometimes also written as psi_n(x) (Arfken 1985, p. 783).

Then the Clausen function Cl_n(x) can be given symbolically in terms of the polylogarithm as

 Cl_n(x)={1/2i[Li_n(e^(-ix))-Li_n(e^(ix))]   n even; 1/2[Li_n(e^(-ix))+Li_n(e^(ix))]   n odd.

(4)

For n=1, the function takes on the special form

 Cl_1(x)=C_1(x)=-ln|2sin(1/2x)|

(5)

and for n=2, it becomes Clausen's integral

 Cl_2(x)=S_2(x)=-int_0^xln[2sin(1/2t)]dt.

(6)

The symbolic sums of opposite parity are summable symbolically, and the first few are given by

C_2(x) = 1/6pi^2-1/2pix+1/4x^2

(7)

C_4(x) = 1/(90)pi^4-1/(12)pi^2x^2+1/(12)pix^3-1/(48)x^4

(8)

S_1(x) = 1/2(pi-x)

(9)

S_3(x) = 1/6pi^2x-1/4pix^2+1/(12)x^3

(10)

S_5(x) = 1/(90)pi^4x-1/(36)pi^2x^3+1/(48)pix^4-1/(240)x^5

(11)

for 0<=x<=2pi (Abramowitz and Stegun 1972).


REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Clausen's Integral and Related Summations" §27.8 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 1005-1006, 1972.

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, 1985.

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 89-90, 2003.

Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, p. 27, 2004.

Borwein, J. M.; Broadhurst, D. J.; and Kamnitzer, J. "Central Binomial Sums, Multiple Clausen Values and Zeta Functions." Exp. Math. 10, 25-41, 2001.

Clausen, R. "Über die Zerlegung reeller gebrochener Funktionen." J. reine angew. Math. 8, 298-300, 1832.

Grosjean, C. C. "Formulae Concerning the Computation of the Clausen Integral Cl_2(alpha)." J. Comput. Appl. Math. 11, 331-342, 1984.

Jolley, L. B. W. Summation of Series. London: Chapman, 1925.

Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions. London: Macdonald, pp. 170-180, 1958.

Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. New York: North-Holland, 1981.

Wheelon, A. D. A Short Table of Summable Series. Report No. SM-14642. Santa Monica, CA: Douglas Aircraft Co., 1953.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.