الفصل الثاني
الدوال غير الخطية
(الدالة التربيعية)
Non-Linear Functions: Quadratic Function
مقدمة:
تناولنا في الفصل السابق العلاقة الخطية بين المتغير التابع والمتغير المستقل (وهي العلاقة الخالية من الأس أو من حاصل ضرب المتغير التابع في المتغير المستقل)، ووجدنا أن هذه العلاقة (العلاقة الخطية) تنطبق على سلوك بعض الظواهر الاقتصادية والمالية والإدارية فإن هناك بعض الظواهر الاقتصادية والمالية والإدارية تسلك سلوك العلاقة غير الخطية، حيث أن المتغير المستقل يحمل أس أو قوة، ومن أهم العلاقات غير الخطية الدالة التربيعية وهي علاقة القطع المكافئ (Quadratic form) وتأخذ إحدى الصور الآتية:
وتسمى هذه الدالة دالة من الدرجة الثانية، وتمثل بمعادلات من الدرجة الثانية (تربيعية)، حيث يكون أحد متغيراتها مرفوع إلى الأس اثنين، أما باقي المتغيرات مرفوعة للأس واحد، أما القيم (c) (b), (a) فهي ثوابت ويمكن أن تكون قيمة (a) صفرية أي أن قيمة 0=b أو قيمة 0=c ولكن في الدالة التربيعية لا يمكن أن تكون قيمة a لا تساوي 0.
حل المعادلات التربيعية:
1- الحل الجبري للدالة التربيعية
هناك عدة طرق لحل المعادلات التربيعية، وسوف نتعرض في هذا الفصل الي طريقتين هما: الطريقة الاولى هي التحليل الى العوامل Factoring Analysis والطريقة الثانية هي الصيغة التربيعية أو القانون Quadratic Formula وهـو مـا يعرف بقانون الجذر المميز. ونتناول فيما يلي هذه الطرق:
الطريقة الاولى: التحليل الي العوامل:
حيث يتم الاعتماد على اساليب التحليل المتعارف عليها رياضياً إما بأخذ عامل مشترك أو بتحليل المقدار الثلاثي أو بتحليل الفرق بين مربعين أو بتحليل الفرق أو مجموع مكعبين.
وتعتمد هذه الطريقة في حل المعادلة التربيعية 0 = ax2 + bx + c على الخطوات التالية:
- تحليل الحد الأول ax2 لعاملين حاصل ضربهما = ax2.
- تحليل الحد الثالث c، لعاملين حاصل ضربهما = c بحيث يكون المجموع الجبري الحاصل الضرب التبادلي مساوياً للحد الأوسط.
على سبيل المثال إذا كان حاصل ضرب القوسين التاليين:
حل المعادلة هما {4, 2}.
يلاحظ هنا أن إشارة الحد الثالث (+8) موجبة وبالتالي تم تحليله إلى رقمين حاصل ضربهما يساوي (8) ومجموعهما = معامل الحد الأوسط (6-) وهما 2- 4-
نلاحظ هنا أن إشارة الحد الثالث في المقدار الثلاثي (6) سالبة وبالتالي تم تحليله إلى رقمين حاصل ضربهما = 6 والفرق بينهما = معامل الحد الأوسط = 1
وهما 23 أو حل المعادلة هما {2, 3-}
بأخذ الجذر التربيعي للعدد 9 ويكون حل المعادلة {3,3-}.
الطريقة الثانية: الحل باستخدام قانون الجذر المميز (النموذج التربيعي):
- حيث أن الدالة التربيعية تكون على الشكل:
وباستخدام دالة المميز لحل المعادلة التربيعية (أي إيجاد قيمة x) جبرياً، نجد أن لها ثلاث حالات وهي:
(1) أن يكون للدالة التربيعية حلان
(2) أن يكون للدالة التربيعية حل وحيد.
(3) ألا يكون لها حل (ليس لها حل).
