الفصل الثالث
الاشتقاق (التفاضل)
Derivatives
مفهوم التغير
من خلال الدراسة السابقة للدوال أمكن إيجاد قيمة المتغير التابع (أو قيمة الدالة) عند أي قيمة يأخذها المتغير المستقل، وفي هذا الجزء نتناول قياس التغيرات التي تحدث في قيمة المتغير التابع (قيمة الدالة) عند حدوث تغير طفيف في قيمة المتغير المستقل، وبمعنى آخر قياس معدل التغير في الدالة بالنسبة للمتغير المستقل وهو ما يقوم به علم الاشتقاق (أو التفاضل).
كما أن دراسة التغير في قيمة الدالة سواء بالزيادة أو النقص بهدف الوصول إلى معدل التغير هو الأكثر أهمية في الدراسات الاقتصادية والتجارية وذلك لاهتمام رجال الاقتصاد والإدارة من الاستفادة منها في مجال العمل وتطبيقها على دوال الإنتاج والمبيعات والايراد والتكلفة والربح والإعلان والتسويق.......... الخ؛ ودراسة التغير في حد ذاته قد لا يفيد الإدارة قدر اهتمامها بدراسة معدل التغير والذي يؤدي في النهاية إلى التأثير على القرارات الإدارية والاقتصادية.
على سبيل المثال: إذا أنتج أحد المصانع 200 وحدة من سلعة معينة بسعر$4 للوحدة. فإن الإيراد الكلي يبلغ 800$ بينما إذا أنتج 150 وحدة فقط في فترة أخرى ونتيجة لارتفاع الأسعار بصفة عامة ارتفع سعر بيع الوحدة من $4 إلى $ 6 فإن الإيراد الكلي سوف يرتفع إلى 900$ وعلى هذا لا يمكن القول أن زيادة الإيراد نتج عن زيادة الإنتاج وأن حقيقة الأمر أن هناك انخفاضاً في حجم الإنتاج وأن الزيادة في الإيراد الكلي ترجع لأسباب أخرى خلاف زيادة الإنتاج أهمها ارتفاع الأسعار. وعليه فإن دراسة معدل التغير يكون أكثر إفادة في المجالات الاقتصادية والتجارية وأكثر فعالية في ترشيد القرارات الإدارية والاقتصادية. فإذا كان لدينا الدالة: (y = f(x وكانت (y) دالة متصلة لجميع قيم (x) داخل فترة معينة وأنها أيضاً دالة وحيدة القيمة في هذه الفترة (بمعنى أن لكل قيمة من قيم المتغير المستقل x تقابلها قيمة وحيدة للدالة y). ونفرض أن حدث تغير طفيف في المتغير المستقل x ونرمز له بالرمز x. وتقرأ ( دلتا x) بحيث يصبح قيمته (x + Ax ) . فإن هذا التغير يتبعه تغير طفيف أيضاً في قيمة الدالة y ويأخذ الرمز Ay وبالتالي تصبح القيمة الجديدة للدالة (y + Ay).
متوسط التغير في الدالة:
إذا كانت الدالة y = x2 وبفرض أن المتغير المستقل (x) يأخذ قيمة معينة ولتكن 2 = x فإن الدالة (y) تأخذ القيمة 4، فإذا تغيرت x بمقدار طفيف قدره (1)
أي أن متوسط التغير في الدالة: هو النسبة بين مقدار التغير في الدالة إلى مقدار التغير في المتغير المستقل.
معدل التغير في الدالة:
وبفرض أن المنحنى الممثل للدالة (y = f(x كما هو مبين في الشكل وإن النقطة (A) تقع على المنحنى إحداثياتها هي (x ,y). فإذا انتقلنا إلى النقطة (B) على نفس المنحنى وأن إحداثياتها هي( , y +Ay X + AX)، وعلى هذا إن:
وهي تمثل ظل الزاوية (BAC) والتي يصنعها المستقيم (AB) مع المحور الأفقي حيث تساوي المقابل على المجاور أو تمثل ميل الخط المستقيم AB. وكلما تضاءلت قيمة (AX) فإن النقطة (B) تتحرك على المنحنى مقتربة من النقطة (A). ويكون ميل المماس للمنحنى عند النقطة (A) هو نهاية التغير في الدالة (y) بالنسبة لـ (x) عندما تؤول Ax إلى الصفر، أي أنه المشتقة الأولى للدالة أو المعامل التفاضلي الأول والذي يرمز له بالرمز:
أي أن ميل المماس للمنحنى عند نقطة عليه dx / dy = عند هذه النقطة.
وتختلف قيمة الميل من نقطة إلى أخرى على المنحنى، حيث يمكن استنتاج أن:
له فإن ذلك يعني أن مماس المنحنى عند هذه النقطة يكون موازياً للمحور الأفقي.
ومما سبق تبين أن ميل الخط المستقيم (Slope) هو التغير في قيمة (y) نتيجة تغير قيمة (x) بوحدة واحدة. وحقيقة الامر أنه لا يجب التقيد بأن يكون التغير في قيمة (x) عند وحدة واحدة. وإنما يمكن القول بصفة عامة أن ميل الخط (Slope): هو التغير في قيمة (y) مقسوماً على التغير المناظر في قيمة (×) بين أي نقطتين على الخط.
