قاعدة كرايمر Cramer s Rule
المؤلف:
أ. د. علي مجيد الحمادي
المصدر:
التشابك الاقتصادي بين النظرية والتطبيق
الجزء والصفحة:
ص192 - 196
2025-10-24
34
4-2-4: قاعدة كرايمر Cramer's Rule
يمكننا استخدام قاعدة كرايمر في حل نظام المعادلات الانية الخطية غير المتجانسة والتي يكون فيها عدد المعادلات مساوياً لعدد المجاهيل بحيث لا يكون محدد مصفوفة المعاملات مساوياً للصفر اي ان 
وان هذه القاعدة من أكثر الطرق استخداماً بين الاقتصاديين نظرا لسهولة تطبيقها بالمقارنة مع الطرق الأخرى. دعنا نأخذ بالاعتبار النظام التالي (1):
ان Dj يرمز الى المحدد الناتج عن (A) من خلال تبديل متجه العمود j بمتجه العمود الذي يحتوي المكونات b1, b2, b3، اذن:
لاحظ بان توسع Dj من خلال العمود j يقدم:
.....
Dj = C1jb1 + C2jb2 + ... + Cnjbn…… (3)
ونحصل على مصفوفة المرافقات كما عملنا في الفقرة 1/2/4/ ب. ان النظام الخطي العام للمعادلات (1) مع n من المعادلات و n من المجاهيل يكون لــه حــل واحد
حيث ان ,... ,2D ,D1 محدد من خلال (2) في اعلاه ان يكتب بالصيغة التالية:
البرهان على ذلك يتم من خلال افتراض 0 لا يساوي A! فالنظام (1) يمكن ان
باستخدام صيغة معكوس مصفوفة المعاملات ينتج:
حيث ان مرافقات Cij معطاة في الفقرة /1/2/4 ب من هذا الفصل، نحصل بالتالي على:
حيث ان المعادلة الاخيرة تنتج من المعادلة (3). ان هذه تبرهن الفقرة(4) . اذا كانت 0 = A | اذن رتبة A تكون اقل من n ، واذا للنظام حلول، فستكون على الاقل درجة حرية واحدة One Degree of Freedom. ولنحصل على حل وحيد، فإن قيمة ستكون مختلفة عن الصفر. ويمكن ان نوضح قاعدة كرايمر من خلال المثال التالي:
اوجد حلول النظام التالي بالنسبة لكل قيم p:
عندما يكون 1 = P، فان اضافة اخر معادلتين اصليتين يتضمن أن 3=X+Y. وهذا يتناقض مع المعادلة الاولى التي تصبح X+Y= 1 . كذلك ليس هناك حل في هذه الحالة. ولو نعود الى مثالنا الوارد في الفقرة 1/2/4/ ب يمكننا تطبيق قاعدة كرايمر عليه وكما يلي:
فيمكن حساب المحددات (1A), (A3) ,(A2) التي تستخدم في ايجاد قيم, X3 X2 X 1 وذلك من خلال:
أ - استبدال عمود الطلب النهائي محل العمود الاول في مصفوفة (I - A) للحصول على قيمة X كما يلي:
ثم نستبدل العمود الثاني في مصفوفة I - A بمتجه الطلب النهائي وعلى الصورة التالية: -
ونواصل نفس الخطوات السابقة لاستخراج قيمة X2 . وبعد ذلك يتم استبدال العمود الثالث في مصفوفة I - A بمتجه الطلب النهائي وعلى الشكل التالي.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(1) Eugene Silberberg & Wing Suen, The Structure of Economics, Amathematical Analysis, Thierd Edition, McGraw-Hill, International, 2001, pp.103.
الاكثر قراءة في التحليل الأقتصادي و النظريات
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
