(i)

By the ‘energy principle’ we understand the property that all energy of the self-gravitating system serves as source for the gravitational field. In this appendix, we wish to prove that (i) indeed satisfies this principle. For the uniqueness argument.

Given a matter distribution ρ immersed in its own gravitational potential φ, suppose we redistribute the matter within a bounded region of space by actively dragging it along the flow lines of a vector field  which vanishes outside some bounded region. The rate of change, δρ, of the matter distribution is then determined through δρ dV = −L (ρ dV) = − · (ρ) dV, where L is the Lie derivative with respect to  and dV is the standard spatial volume element. Note that the latter also needs to be differentiated along , resulting in  L dV =  · . Hence we have δρ = − · (ρ). The rate of work done to the system during this process is

 (1.1)

where the integration by parts does not lead to surface terms due to  vanishing outside a bounded region. Equation (1.1) is still completely general, that is, independent of the field equation for φ. The field equation comes in when we assume that the process of redistribution is carried out adiabatically, which means that at each stage during the process φ satisfies its field equation with the instantaneous matter distribution. Our claim will be proven if under the hypothesis that φ we can show that δA = c²δM_G, where M_G is defined and represents the total gravitating energy according to the field equation. Setting = ψ and using the more convenient, we have

 (1.2)

Now, the fall-off condition for r → ∞implies that  ψ falls off as fast as 1/r² and δψ as 1/r . Hence the second term in the last line of (1.2) does not contribute so that we may reverse its sign. This leads to

 (1.3)

which proves the claim.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الفكرية يطلق باقة من النشاطات الرقمية الخاصة بشهر المحرم

العتبة العباسية المقدسة تختتم السلسلة الأولى لمشروع المحاضرات القرآنية العاشورائية في بابل

العتبة العباسية المقدسة تسلّم راية العزاء إلى تجمّع مواكب محافظة الديوانية

قسم الشؤون الفكرية يواصل إقامة المجالس الحسينية ضمن سلسلة (بيوت النعيم)

المزيد

الآخبار الصحية

لحماية أسنان طفلك.. هذا الفيتامين يقلل خطر التسوس

أكل الطعام بسرعة.. طريق سريع إلى أمراض خطيرة

أطعمة طبيعية تعزز الطاقة في الحر.. ماذا تأكل في الصيف؟

تناول الجبن.. مفيد للجسم أم خطر يهدد صحتك؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

أداء خلايا البيروفسكايت الشمسية تحت الماء قد يزيد كفاءة تحويل الكهرباء

مسافة الأمان: أساس القيادة الآمنة وتجنب الحوادث

هل القيادة السريعة تعني استهلاك اكثر للوقود؟

لماذا يعتبر كوكب المريخ غير صالح للحياة؟

المزيد

مواضيع ذات صلة

الأسرار المتبقية للثقوب السوداء ( نهاية الزمكان أم بوابة لكون آخر؟)

الثقوب الدودية

الثقوب البيضاء

الثقوب السوداء العملاقة

الثقوب السوداء

الثقوب السوداء

الطبيعة المتفردة للجاذبية

يمكن كشف التموجات الناتجة عن تصادم الثقوب السوداء في الفضاء

لماذا ندرس الثقوب السوداء؟

ماذا يحدث عند سقوط ثقب أسود في ثقب أسود؟

إطلاق النفثات

جمال التناظر