هيلبرت – دافيد

عالم ومكتشف رياضي الماني، ولد في كونيكسبرج وتوفي في جونتجن، درس اسس الرياضيات في اخر حياته.

من أعماله :

• موجة المدرسة الالمانية لمدة ثلث قرن وقد جعل من جامعة جونتجن مركزا عالمايا للرياضيات.
• وضع نظرية المتغيرات المؤدية الى المثاليات في متعددة الحدود.
• وضصع ابحاثا في نظرية الاعداد، ثم حساب المتغيرات.
• بحث في المعادلات المتاكملة.
• ادخل فراغات التوابع عام 1904 مما دفعه لايجاد نظرية المعاملات الروتينية.
• برهن في عام 1909 مدسية وارنغ (1770) التي تقول : لكل عدد طبيعي n اكبر من (2) يوجد عدد كامل S(n) في الجبر ونظرية الاعداد :

كان موضوع اطروحته الاولى عن المتغيرات وبقي هذا الموضوع ضمن المواضيع الاساسية لابحاثه حتى عام 1893، وخلاصة ما توصل اليه : (للمتغيرات اساس كامل ومحدد، هذا يعني انه باستطاعتنا ايجاد عدد محدد من المتغيرات). وأخيراً نظرية عدم امكانية التحول عند هيلبرت. بعدها تحول الى نظرية الاعداد الجبرية.

ناقش نظرية جالوا عن الاجسام الى ان اصبحت ابحاثه منهجية وخلال ثلاث سنوات وضع مجلداً يختصر نظرية الاعداد الجبرية – وضح وناقش فيه آراء العديد من العلماء السابقين والمعاصرين.

في التحليل الرياضي :

هناك مسالتان اساسيتان شغلتا اهتمامات المحللين (عند نهاية القرن التاسع عشر) وهما :

(مسالة دير كليه) و (دراسة اهتزازات جسم المطاط) تناول عام 1899 مسالة دير كيلة في اطار حساب المتغيرات، حيث استخدام الطريقة المباشرة للحصول على برهان ثابت لهذه المسالة.

هذه المبادرة التي قام بها هيلبرت استخدمت لدى علماء اخرين وخاصة في مجال النظرية الحديثة للمعادلات التفاضلية والمعادلات الاهليجية.

لقد حصل هلبرت على نتائج مهمة في حساب المتغيرات وحاول استخدام هذا الحساب لتوحيد التحليل، لكنه ترك هذا الموضوع واتجه الى نظرية المعادلات المتكاملة التي فتحت له طريق التحقيق البرنامج المقترح من قبل (بوانكارية) : فعالج بنظرية واحدة مسالة دير كيله ومسالة الاهتزازات وقد جمع هلبرت كل ابحاثه حول المعادلات المتكاملة (في عام 1912) التي ظهرت لديه بين (1904 و 1910) في كتاب واحد نشر بعنوان مميزات نظرية عامة للمعادلات المتكاملة الذي اشتمل على أسس التحليل التابعي.

وقد تناول مواضيع عديدة تحت هذا العنوان منها : (نظريات تتعلق بالهندسة التفاضلية الكسيكية).

الاسلوب الاكسيوماتيكي :

كانت ابحاثه حول اسس الهندسة انطلاقا لبعض النواحي المنهجية والفلسفية، بقي النموذج الاستنتاج في الهندسة الوارد في كتاب الاصول او العناصر عند اقليدس (منذ زمن الاغريق) يعتبر نموذجاً لمدى صحة الرياضيات، الى عام 1882 حيث جاء Mr. pasch وعرف فرضيات اخرى مثل (الوجود بين نقطتين)، في حين ان هليبرت قدم اول بناء اكسوماتي كامل للهندسة في عام 1899 دون التناقص مع التحليل، استخدم نظام المسلمات مقسم الى (5) زمر، اهم ما فيه الصيغ المستقلة عن الواقع الملموس.

اصبح ممكنا التخلي عن مسلمة اقليدس الخامسة مما اتاح بناء هندسة لا اقليدية، وكما ذكر سابقاً فان نظام هيلبرت للمسلمات لا يتعارض مع التحليل (أي نظرية الاعداد الحقيقية).

برنامج هيلبرت ونظرية البرهان :

ان احسن نظرية للبرهنة هي (المنطق الموسع حول نظرية المجموعات الكلاسيكية) التي نشرت 1903 قبل نشر كانتور نظرية المجموعات بفترة قليلة.

لقد اخذ هيلبرت على عاتقه انقاذ الوضع الكلاسيكي للرياضيات وتجسيد وسائل جديدة بامكانها اعطاء براهين مطلقة غير متناقصة بالنسبة او لا للحساب وثانيا للتحليل، فقد اعتمد صياغة عدم التناقص المطلق في نظام شكلي يحتوي كل التحليل الكلاسيكي بما فيه نظرية المجموعات والمنطلق موجودة بشكل مسلمات وقواعد استنتاجية، وهذا البرنامج لا يمكن تحقيقه دون التورط في حلقات مفرغة.

إن حدود وامكانيات هذا البرنامج لا تصبح واضحة الا بعد وضعها ضمن نطاق الفلسفة الشكلية للرياضيات التي اسسها هيلبرت.

فلسفة الرياضيات :

لا يقوم التفكير الاسيكوماتيكي عند هيلبرت على فلسفة الرياضيات بل على فلسفة العلم بشكل عام.

عند صياغة المسلمات العميقة، نصل الى تطلعات اكثر بعيدا في التفكير العلمي نفسه أي  في عمق الاهداف العلمية، ان البنية الاكسيوماتية هي اعلى درجة من تطور علم ما، انه الهدف الذي يؤدي الى التقدم.

يقول هيلبرت : ان الطريقة الاكسيوماتية تحرر العلم من كل الرواسب السابقة ومن الافكار البسيطة، لا تحقق الدقة فقط بل تؤدي الى الابداع، ان وجود المسلمات ضمانة لحصة النتائج.

وهذه النظرية تخالف نظرية G Frege الذي ينظر الى المسلمات وكلها نظريات.

عزز هيلبرت فكرة البراهين هذه التي تعالج مسالة نظرية المعرفة ومن ثم عزز اهمية المنهجية الاكسيوماتية العامة ونواحيها الفلسفية، كما دقق دور الاستنتاج الشكلي والتفكير الرياضي ضمن اطار التفكير البشري.