الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت:

اختيار الأساس ضروري في معظم فضاءات الضرب الداخلي حيث نختار الأساس الذي جميع متجهاته متعامدة مع بعضها على العكس من فضاءات المتجهات الأخرى حيث أن معظم التمارين لا تتقيد بأساس معين. سنركز اهتمامنا في هذا البند على كيفية الحصول على الأساسات المتعامدة.

تعريف (1-1):

مجموعة متجهات فضاء الضرب الداخلي يقال لها مجموعة متعامدة إذا كانت متجهاتها متعامدة مثنى ــ مثنى، ومجموعة المتجهات المتعامدة يقال لها عارية إذا كان طول كل متجه فيها يساوي.1

مثال (1)

متجهات الاساس الطبيعية  متعامدة لأن . إضافة لذلك فهي عيارية لأن طول كل منها يساوي 1.

مثال(2) لتكن في R³ المعرف عليه الضرب الداخلي الاقليدي.

لاحظ أن 

وبنفس الطريقة 

إذن {v₁, v₂, v₃} مجموعة متعامدة.

والآن نجد أطوال المتجهات v₃, v₂, v₁:

ثم نحول كل متجه للشكل المعياري من خلال ضربة بمقلوب طوله لنحصل على :

ملاحظة: في فضاء الضرب الداخلي ، الأساس الذي جميع متجهاته عيارية يسمى الاساس العياري.

أما الأساس الذي جميع متجهاته متعامدة يسمى الأساس المتعامد.

مبرهنة (1-2):

لتكن {v₁, v₂, …., v_n} T =  أساس عاري لفضاء الضرب الداخلي V، و u أي متجه في V، فإن:                                                  

البرهان:

بما أن T اساس V فإن:

حيث  K_n, … , k₂,k₁ ثوابت

عليه:

ملاحظة:

الكميات الثابتة  تسمى إحداثيات u نسبة للأساس العياري T وتكتب:

مثال(3):

ليكن {v₁, v₂, v₃} T =  أساس عياري للفضاء R" المعرف عليه ضرب داخلي إقليدي. نفرض أن عبر عن u = (1,1,1) بشكل تركيب خطي للمتجهات v₂, v₁ و v₃ ثم اوجد (U)_T.

لذا فإن مركبات الإحداثيات للمتجه u نسبة إلى T هي:

مبرهنة (1-3):

لتكن T اساس عياري لفضاء ضرب داخلي بعده n إذا كانت:

واضح أن الجانب الأيمن من (1) مبرهنة (6-3-3) يمثل طول (معيار) U_T نسبة للضرب الداخلي الاقليدي للفضاء R". الجانب الايمن في (3) من نفس المبرهنة فيمثل الضرب الداخلي الاقليدي للمتجهات الإحداثية (U)_T  و  (V)_T. لذا عند التعامل مع الاساسات العيارية المتعامدة فإن حساب اطوال وحواصل الضرب الداخلي العامة يمكن اقتصارها على حساب أطوال وحواصل الضرب الداخلي الاقليدي للمتجهات الإحداثية.

مثال(4):

نفرض Rⁿ فضاء معرف عليه ضرب داخلي اقليدي فإن طول المتجه u = (1,1,1)  هو:

وإذا كان الأساس العياري T هو كما في المثال(3)، فإن:

وعليه فإن طول u يمكن إيجاده كذلك من هذا المتجه باستخدام الجزء الاول من مبرهنة (1-3)، أي:

ملاحظة:

إذا كانت {v₁, v₂, …, v_n} T = أساس متعامد لفضاء المتجهات V فإنه من الممكن تحويل كل متجه متعامد في T إلى متجه عياري متعامد من خلال قسمته على طوله. أي ان:

هو أساس عياري متعامد.

فإذا كان u اي متجه في الفضاء V فإنه بموجب مبرهنة (1-2) نستطيع كتابة u بالصيغة:

وبموجب خواص الطول [  (الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي) ] فإن:

هو تركيب خطي للمتجه u بدلالة الأساس المتعامد T.

مبرهنة (1-4):

إذا كانت {v₁, v₂, … , v_n} T =  مجموعة متجهات متعامدة وغير صفرية في فضاء الضرب الداخلي، فإن T مستقلة خطياً.

البرهان:

مثال(5):

من المثال (2). V₁ = (0,1,0) ،  مجموعة عيارية نسبة للضرب الداخلي الاقليدي في R³. بما أن V₁، V₂ ، V₃ مجموعة مستقلة خطياً وأن بعد R³ هو 3، فإن {v₁, v₂, v₃} أساس عياري للفضاء R³.

المساقط المتعامدة:

إذا كانت w مستقيم(او مستوى) في R² (أو R³) تمر خلال نقطة البداية (نقطة الأصل) و u متجه ما مرسوم في الفضاء R² (أو الفضاء R³) [لاحظ الشكل (1-1) ]، فإن:

                                                               u=w₁+w₂                                                                                                                         

حيث W₁ و W₂ عمود على w₁.W يسمى مسقط u على العمود W ويرمز له W_L. peoj_wu تسمى مركبة u العمودية على W ويرمز لها u proj _w1.

                                                            شكل (1-1)

عليه فإن:

[لاحظ الشكل (1-2) ]

                                                   شكل(1-2)

مبرهنة (1-5):

ليكن W فضاء جزئي ذات بعد منتهي في فضاء الضرب الداخلي W. فإن

(1) إذا كان {v₁, v₂, …, v₂} أساس عياري للفضاء الجزئي u, w متجه لا على التعين في V فإن:

(2) إذا كان {v₁, v₂, …, v₂} أساس متعامد للفضاء الجزئي u, w متجه لا على التعين في V، فإن:

مثال(6):

ليكن w فضاء  جزئي من R³ المعرف عليه الضرب الداخلي الاقليدي حيث w متولد من المتجهات العيارية v₁ = (0,1,0)  و  

من العلاقة (5) المسقط العمودي للمتجه u = (1,1,1) على w هو:

لاحظ أن proj_w u عمود على كل متجه في W لأنه عمود على v₁ و v₂ المولدة للفضاء W.

طريقة (كرام ــ شمت) لإيجاد الأساس العياري المتعامد لفضاء الضرب الداخلي V:

يمكن تلخيص هذه الطريقة بالخطوات الآتية:

1. نفرض أن {u₁, u₂, …, u_n} أي أساس الفضاء وليكن v₁ = u₁.

2. نجد v₂ العمود على v₁ من خلال إيجاد u₂ العمود على الفضاء w₁ المتولد من v₁ وكالآتي: [الصيغة 7 ولاحظ الشكل 1-3].

                                                           شكل (1-3)

3. نجد v₃ العمود على v₁ و v₂ من خلال إيجاد مركب u₃ العمود على الفضاء w المتولد بواسطة v₁ و v₂ باستخدام الصيغة (7).

لاحظ الشكل (1-4):

                                                                    شكل(1-4)

4. والآن نجد v₄ العمود على كل من v₁ وv₂ و v₃ بإيجاد مركب u₄ العمود على W₃ المتولد من v₃, v₂, v₁ مستخدماً الصيغة (7).

وكما يلي:

5. بالاستمرار على نفس الاسلوب إلى n من الخطوات سنحصل على v_n حيث:

العلاقة الواردة في الخطوة (5) أعلاه تسمى الصيغة العامة لإيجاد الاساسات المتعامدة.

وهكذا نحصل على مجموعة المتجهات المتعامدة {v₁, v₂, … , v_n} والتي تحتوي على n من المتجهات.

بما أن بعد V هو n وإن أي مجموعة من المتجهات المتعامدة مستقلة خطياً فإن المجموعة    {v₁, v₂, …, v_n} هي الاساس المتعامد.

6. ثم نجد طول كل متجه في المجموعة {v₁, v₂, … , v_n} والآتي:

                                       .

 عليه فإن {z₁, z₁, …, z_n} هي مجموعة n من المتجهات العيارية المتعامدة وهي الاساس العياري المتعامد للفضاء V.

مثال(7):

أوجد الاساس العياري المتعامد للفضاء الجزئي W من R³ المتولد من u₁ = (1,0,1)  و       u₂ = (1,1,1).

باستخدام الطريقة أعلاه نفرض u₁ = u₁ = (1,0,1)

إذن:

عليه {(0,1,0) , (1,0,1)} هو الأساس المتعامد.

والآن نجد اطوال v₂, v₁ الآتي:

مثال(8): اوجد الاساس المعياري المتعامد للفضاء R³ إذا علمت ان الاساس الاعتيادي هو:                 {u₃ = (1,0,0)  ,   u₂ = (1,1,0) ,   u₁ = (1,-1,1)} بما أن u₂ , u₁ متعامدان نفرض أن    v₂ = (1,-1,1) ,  v₁ = (1,1,0) ثم نجد v₃ كالآتي:

والآن نجد طول كل من v₃, v₂, v₁ وبقسمة كل منهما على طوله نحصل على الأساس العياري المتعامد

مثال(9):

نفرض v فضاء متجهات لدوال حقيقة مستمرة على .  مع الضرب الداخلي المعرف  معرفة بالشكل:

هل ان T أساس عياري.

الحل:

لاحظ أن T متعامدة لأن  لكن T ليست عيارية لأن: