المستقيمان والمستويان في الفضاء الثلاثي:

يتضمن هذا البند اشتقاق معادلات المستقيمان والمستويات في الفضاء 3- باستعمال المتجهات وتوظيف تلك المعادلات لحل المسائل الهندسية الأساسية.

المستويات في الفضاء 3- :لتعيين مستقيم ما في المستوى نحتاج لمعرفة ميله ونقطة واقعة عليه، ويمكن تعيين المستوى في فضاء 3- إذا عرف انحداره ونقطة واقعة عليه. الطريقة المناسبة لتعيين الانحدار هي في تحديد متجه (يسمى المتجه الناظم) غير صفري عمودياً على المستوى.

نفرض أننا نريد إيجاد معادلة المستوى المار بالنقطة P₀ (x₀ , y₀ , z₀) وله المتجه غير الصفري n = (a, b, c) العمود عليه.

واضخ من الشكل (1-1) أن المستوى المطلوب يتكون من تلك النقاط P (x, y, z) بحيث يكون المتجه p₀p عمودياً على المتجه n. بمعنى آخر

                                      شكل(1-1)

مثال (1):

أوجد معادلة المستوى المار بالنقطة    P₀ (2, 5, 1) والذي ناظمه n = (1,-2,3)

الحل:

بالتعويض في الصيغة (2):

                   1(x-2)+(-2)(y-5)+1(z-1)=1

أو

                                                                             x-2y+3z=5

مثال(2):

أوجد معادلة المستوى المار بالنقاط الثلاث P₁ (1,2,-1)  و  P₂ ( 2,3,1)  و  P (3,-1,2).

الحل:

بما أن جميع النقاط تقع على المستوى فإن مركباتها تحقق المعادلة العامة.

بالتعويض في الصيغة العامة:

وبحل هذا النظام نحصل على:

إذن المعادلة هي:

                                                          9x+y-5z-16=0

طريقة ثانية لإيجاد معادلة المستوى (الصيغة الاتجاهية):

هناك صيغة ثابتة مهمة لمعادلة المستوى في فضاء 3- تتلخص فيما يلي:

ليكن r (x, y, z) متجه من نقطة الأصل للنقطة P (x, y, z)  و r₀ (x₀, y₀, ₀) متجه من نقطة الأصل للنقطة P₀ (x₀ , y₀, z₀) و n = (a, b, c) عمود على المستوى شكل (3-31) لذا:

                                                          P₀P=r-r₀

تسمى هذه الصيغة بالصيغة الاتجاهية لمعادلة المستوى

بالتعويض في الصيغة (1) نحصل على:

5) ................................................................n.(r-r₀)=0

مثال (3): أوجد معادلة المستوى المار بالنقطة (4,3,4) وعمودياً على المتجه (n = (-1,2,5.

الحل:

بالتعويض في الصيغة (5) نحصل على:

                                           شكل (1-2)

المستقيمان في فضاء 3-: نوضح في هذا الجزء طريقتين لإيجاد معادلة المستقيم في المستوى.

الطريقة الأولى: ليكن m مستقيم ما يمر بالنقطة P₀ (x₀, y₀, z₀) وموازياً للمتجه v = (a, b, c)

المستقيم m يتكون من تلك النقاط p (x, y, z) التي يكون فيها المتجه P₀P موازياً للمتجه v، أي أن:

6) ...................................................... P₀P=kv

                                                       شكل(1-3)   

حيث k عدد ثابت.

أي:

وبالمقارنة بين المركبات:

هذه المعادلات تسمى المعادلات الوسيطة.

مثال(4):

اوجد المعادلات الوسيطة للمستقيم m المار بالنقطتين P (1, 2,3) و Q (3,2,1).

الحل:

بما أن المتجه PQ (2,0,-2) يوازي المستقيم m والنقطة P (1,2,3) تقع على m فإن

مثال (5):

أوجد المعادلات الوسيطة لخط تقاطع المستويين:

الحل:

خط تقاطع المستويين يتكون من جميع النقاط (x, y, z) التي تحقق المعادلتين وبحل المعادلتين نجد:

الطريقة الثانية: ليكن r (x, y, z) متجه ما منة نقطة الأصل للنقطة P (x, y, z) و                    r₀ (x₀, y₀, z₀) متجه من نقطة الأصل للنقطة P₀ (x₀, y₀, z₀)  و  v = (a, b, c) متجه موازي للمستقيم m، كما في الشكل (3-33).

لذا:

                                                          P₀P =r-r₀

وبالتعويض في الصيغة P₀P = kv نحصل على:

                                                r-r₀=kv

حيث k عدد ثابت.

أو

هذه الصيغة تسمى بالصيغة الاتجاهية لمعادلة المستقيم في المستوى 3-

المسافة من نقطة معلومة لمستوى معلوم:

لتكن P (x₀, y₀, z₀) نقطة معلومة ax + by + cz + d = 0 المستوى المعلوم فإن المسافة D بين النقطة والمستوى.

البرهان:

نفرض Q (x₁, y₁,z₁ نقطة واقعة في المستوى. نرسم المتجه n = (a, b, c) عمودياً على المستوى في النقطة Q (الشكل 1-4). المسافة D تساوي طول المسقط العمودي للمتجه QP₀ على n. بوساطة الصيغة (9) في (الضرب النقطي ,المساقط):

                                                          شكل(1-4)

لكن Q (x₁, y₁, z₁) واقعة في المستوى، فإن إحداثيات تحقق معادلة المستوى     

وبتعويض هذه الصيغة هذه في (10) نحصل على  (9).

ملاحظة:

لاحظ التشابه بين (9) وصيغة المسافة بين نقطة معلومة ومستقيم معلوم (صيغة 12في(الضرب النقطي ,المساقط(.

مثال(7):

أوجد المسافة من النقطة P (1,-4,3) للمستوى 2x + 3y + 6z = 0

الحل:

هنا n = (2,-3,6) (الناظم) العمود على المستوى

مثال (8): أوجد المسافة بين المستويين المتوازيين:

الحل:

المستويان متوازيين لأن أعمدتهما (الناظمين) n₁ = (1,2,-2)  و  n₂ = (2,4,-4) متجهات متوازيين (شكل 1-5).

لإيجاد المسافة بين المستويين نختار نقطة معينة في إحداهما ونوجد المسافة بين النقطة والمستوى الآخر، بفرض y = z = 0 في المعادلة x + 2y – 2z = 3 نحصل على P₀ (3,0,0) في هذا المستوى. وبوساطة الصيغة (9) فإن المسافة D من  P₀ إلى المستوى 2x + 4y – 4z = 7