تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
اقطرة المصفوفة
المؤلف:
علي جاسم التميمي
المصدر:
مقدمة في الجبر الخطي
الجزء والصفحة:
359-369
1-3-2016
10260
سنركز اهتمامنا في هذا البند على إيجاد أساس Rn المتكون من المتجهات الذاتية للمصفوفة A ذات السعة n x n، ومن ثم توظيفها في العلوم التطبيقية.
تعريف (1-1):
يقال للمصفوفة المربعة A بأنها قابلة للأقطرة إذا وجدت مصفوفة مثل P قابلة للانعكاس بحيث:
P-1AP=D
حيث D مصففة قطرية. P تسمى مؤقطرة A.
مثال(1):
حول إلى مصفوفة قطرية.
1. نوجد المعادلة المميزة.
3. بالتعويض في المعادلة واختزال المصفوفة الناتجة ومن ثم بحل النظام المتجانس نحصل على:
5. إذن عند تعويض بالتعويض عن a = -16 (لأن a كمية ثابتة ويمكن اختيارها -16).
وعند التعويض عن λ=6والضرب c = 1 نحصل على واخيراً عند تعويض 7 =λو v = 1 نحصل على المتجه الذاتي
6. بوضع الأعمدة v3, v2, v1 بشكل صفوف نحصل على المصفوفة التالية:
بما أن P قابلة للانعكاس ، نجد P-1 بإحدى الطرق التي تعلمناها في فصول سابقة.
7. وبالتعويض في العلاقة P-1AP سنحصل على
لاحظ أن عناصر القطر الرئيسي في D هي القيم الذاتية للمصفوفة A وكما وأن صفوف P هي المتجهات الذاتية v3, v2, v1
مبرهنة (1-2):
إذا كانت A مصفوفة سعتها n x n، فإن A قابلة للأفطرة إذا وفقط إذا احتوي على n من المتجهات الذاتية المستقلة خطياً وأن صفوف P هي المتجهات الذاتية المستقلة خطياً.
البرهان:
نفرض أن A تحوي على n من المتجهات الذاتية المستقلة خطياًvn , …., v2, v1 المرافقة للقيم الذاتية
إذن P-1AP = D ، أي أن AP = PD.
حيث D مصفوفة قطرية قيمها الذاتية,λ1 n,…. ,λ2λ بما أن متجهات أعمدة P مستقلة خطياً، فإن P قابلة للانعكاس بموجب (3) فإن P-1AP = D، بمعنى آخر، A قابلة للأقطرة.
ويمن تلخيص طريقة أقطرة المصفوفة A كما يأتي:
1. نجد المتجهات الذاتية للمصفوفة A المستقلة خطياً، نسميها v2, v1, …, vn.
2. نكون المصفوفة P، أي P-1 ومن ثم نعوض في P-1AP والتي ستكون مصفوفة قطرية عناصرها في القطر الرئيسي هي: هي القيم الذاتية المرافقة للمتجهات الذاتية vn, …, v2, v1.
مثال(2):
أوجد P التي تؤقطر
1. المعادلة المميزة هي:
2. القيم وبما أن هذه المتجهات مستقلة خطياً لذا فإنها تؤلف أساس للفضاء الذاتي المرافق.
وعندما λ =1فإن (4) تصبح:
وبحل هذا النظام نحصل على:
X3 = a , a2 = a , x1 = -2a
عليه فإن المتجهات الذاتية المرافقة لــ 1= λهي متجهات غير صفرية وبالشكل:
لهذا أصبح لدينا ثلاث متجهات هي الأساس وعليه فإن A قابلة للأقطرة
مثال(3):
أوجد P التي تؤقطر
القيم الذاتية لــA هي: والمتجهات الذاتية المرافقة والمستقلة خطياً هي:
مبرهنة (1-3):
لتكن vn, … v2, v1
متجهات ذاتية للمصفوفة A المترافقة مع القيم الذاتية فإن vn, …, v2, v1 مستقلة خطياً.
البرهان:
1. نفرض m =2
بضرب طرفي المعادلة (5) بالمصفوفة A نحصل على:
2. نفرض أن المبرهنة صحيحة عندما m = k (بمعنى أن k من المتجهات الذاتية، مستقلة خطياً).
3. الآن نفرض m = k + 1
إذن c1 = c2 = …. ck
وهذا يعني أن ck+1 = 0
مبرهنة (1-4):
إذا كانت vn ,… , v2, v1 متجهات ذاتية مرافقة للقيم الذاتية فإن A قابلة للأقطرة.
البرهان:
بما أن vn , …. , v2, v1 متجهات ذاتية فإن مبرهنة (7-2-3) تبين لنا أن vn , …. , v2, v1 مستقلة خطياً. لذا فإن A قابلة للأقطرة حسب مبرهنة (1-2).
حساب قوى المصفوفة A:
لتكن A مصفوفة سعتها n x n و P مصفوفة قابلة للانعكاس فإن:
مثال(4):
أوجد A10 حيث
الحل:
الاكثر قراءة في الجبر الخطي
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة

الآخبار الصحية
