دعنا نعتبر نظامًا ما (أي مجموعة من الجسيمات) في حالة اتزان (أي إن كل جسيم يكون في حالة اتزان). ونرقم الجسيمات باستخدام الدليل i. القوة الكلية على كل جسيم تساوي صفرًا.

علاوة على ذلك، إذا اخترنا نقطة أصل O وقمنا بضرب طرفي المعادلة (2–7) متجهيًّا في  (المتجه الواصل من O إلى موضع الجسيم الذي ترتيبه i)، نجد أن:

نتذكر أنه إذا جمعنا المعادلات (2–7) لجميع قيم i، فإن القوى الداخلية يلغي بعضها بعضًا كنتيجة لقانون نيوتن الثالث ونحصل على:

حيث  هي القوة الكلية الخارجية المؤثرة على النظام. هل نستطيع أيضًا القول بأن القوى الداخلية لا ينتج عنها محصلة للعزم مؤثرة على النظام؟

لاختبار هذا السؤال نحلل  إلى جزأين خارجي وداخلي:

ويمكن دمج ذلك (باستخدام قانون نيوتن الثالث ) ليعطي . يتلاشى حاصل الضرب المتجهين هذا إذا كانت  متوازية إما مع اتجاه أو عكس اتجاه  لكن  هو متجه واصل من الجسيم رقم 2 إلى رقم 1؛ وبالتالي إذا كانت القوة بين أي جسيمين متوازية إما مع اتجاه أو عكس اتجاه الخط الواصل بين الجسيمين، فإن الضرب المتجهين سوف يتلاشى ولن تساهم القوى الداخلية في العزم الكلي. القوى التي تؤثر على طول الخط الواصل بين الجسيمين تسمى قوى مركزية؛ من الأمثلة المألوفة قوة الجاذبية والقوة الكهروستاتيكية (اللتان لهما نفس الصورة الرياضياتية). بعض القوى في الطبيعة ليست قوى مركزية، ومن أكثر الأمثلة المألوفة القوى المغناطيسية حتى في هذه الحالة، رغم ذلك، يمكن من خلال حجة أكثر تفصيلا إظهار أن القوى الداخلية لا تساهم في العزم الكلي لو لم يكن هذا صحيحًا لبدأ نظام ما معزول، تحت ظروف معينة، في الدوران أسرع فأسرع ولتمكن من بذل شغل دون أي طاقة داخلة.

طبقًا لذلك، نؤكد (رغم أن الإثبات العام تمامًا خارج نطاق هذه المناقشة) على أنه، إذا كان نظام ما في حالة اتزان فإن القوى الداخلية لا تساهم في العزم الكلي؛ وبالتالي:

شكل 7–4: عزم حول نقطة الأصل ناتج من الجاذبية المؤثرة على جسم O.

في معظم الأمثلة التي سوف نعتبرها هنا تكون قوة الجاذبية واحدة من القوى الخارجية المؤثرة على نظام ما تؤثر هذه القوة على كل جسيم في النظام؛ حيث إن الجسيمات المختلفة على مسافات مختلفة من نقطة الأصل O. رغم ذلك، هناك نظرية هامة تجعل من حساب العزم الناتج بواسطة الجاذبية أمرًا سهلًا. (نفترض هنا أن منطقة الاهتمام صغيرة بقدر كافٍ بحيث يكون مقدار واتجاه قوة الجاذبية لوحدة الكتلة متماثلين لجميع الجسيمات في النظام تحت الدراسة.)

نظرية. من أجل حساب العزوم، يمكن اعتبار قوة الجاذبية الكلية على نظام ما أنها تؤثر على مركز الكتلة. (كما هو مبين في شكل 7–4 يكون عزم الجاذبية على النظام هو المتجه الواصل من نقطة الأصل إلى مركز كتلة النظام، وM الكتلة الكلية، و متجه وحدة يشير رأسيًا لأعلى.)

ينتج البرهان مباشرة من تعريف مركز الكتلة:

بإدخال المعادلة (79) في المعادلة (1) نحصل على  وهي النتيجة المطلوبة.

مواضيع ذات صلة

أنظمة لأكثر من جسيم واحد

كمية التحرك الزاوية والقوة المركزية

الحركة الدورانية

امثلة عن الاتزان الاستاتيكي للأجسام الممتدة

تعريف العزم

تذبذبات صغيرة لبندول

اعتبارات الطاقة في الحركة التوافقية البسيطة

الحل الهندسي للمعادلة التفاضلية للحركة التوافقية البسيطة، دائرة المرجع

الحل باستخدام حساب التفاضل والتكامل

قانون هوك والمعادلة التفاضلية للحركة التوافقية البسيطة

القدرة ووحدات الشغل

تصادمات مرنة ثنائية البعد