إذا كانت القوة على جسيم هي  فإن الشغل المبذول على الجسيم عندما يتحرك من x₀ إلى x_f هو اعتبر المسار متتالية من خطوات صغيرة )

(لاحظ أن القوة محافظة؛ لأن الشغل يعتمد فقط على نقطتي البداية والنهاية ولا يعتمد على ما إذا كان الجسيم تحرك مباشرة من x₀ إلى x_f أو تراجع في مساره.) تنص نظرية الشغل والطاقة على:

المعادلة (24–6) متضَمَّنة بالفعل في حلنا السابق. تذكر أن (δ –x = x_max cos (ωt و(δ – v = – ωx_max sin (ωt. باستخدام  ω² = k/m وmو1 = δsin² δ + cos²، نحصل على:

ولأن v_max = ωx_max، يمكننا كتابة الطاقة على الصورة (1/2)mv_max² أو (1/2)kx_max². ندرك أن (1/2)kx²_max هي طاقة الجهد عندما تكون نقطة المرجع هي موضع الاتزان (0 = x). التعبيران السابقان للطاقة يناظران حالتي وجود الجسيم عند 0 = x، عندما تكون طاقة حركته قيمة عظمى ولا يكون له طاقة جهد، أو عند x = ± x_max عندما تكون طاقة جهده قيمة عظمى ولا يكون له طاقة حركة.

أي شخص لم يسمع قط عن الطاقة ولديه رؤية رياضياتية قد يدرك أنك إذا قمت بضرب طرفي المعادلة (2–6) في dx/dt تحصل على
d/dt ((1/2)mv_max² + (1/2)kx_max²) = 0، وهي مماثلة للمعادلة (24–6) الأكثر من ذلك، إذا كان x₀ وv₀ معينين فإن المعادلة (24–6) تعطي v كدالة في x. وبما أن (dt = dx/v(x، فيمكنك إجراء التكامل للطرفين للحصول على t(x) وبالتالي x(t).

مواضيع ذات صلة

أنظمة لأكثر من جسيم واحد

كمية التحرك الزاوية والقوة المركزية

الحركة الدورانية

امثلة عن الاتزان الاستاتيكي للأجسام الممتدة

الاتزان الاستاتيكي للأجسام الممتدة

تعريف العزم

تذبذبات صغيرة لبندول

الحل الهندسي للمعادلة التفاضلية للحركة التوافقية البسيطة، دائرة المرجع

الحل باستخدام حساب التفاضل والتكامل

قانون هوك والمعادلة التفاضلية للحركة التوافقية البسيطة

القدرة ووحدات الشغل

تصادمات مرنة ثنائية البعد