الرنين الموجي : الموجات المستقرة على وتر

عند تحريك بندول أو أرجوحة أطفال او كتلة مثبتة في طرف زنبرك باستخدام قوة دورية يتحرك النظام بأكبر سعة عندما يكون تردد القوة مساوياً للتردد الطبيعي لاهتزاز النظام. ويوجد موقف في حالة اهتزاز الاوتار ، كما هو موضح بالشكل 1)). فإذا قمنا بهز الوتر بتردد منخفض جداً فإن الوتر سيهتز اهتزازاً ضعيفاً جداً بحيث يبدو عديم الحركة ، كما بالشكل (1 أ). وبزيادة تردد الاهتزاز ببطئ سوف يبدأ الوتر في الاهتزاز بقوة عند تردد معين ، كما بالشكل 1) ب). وعند هذا التردد الرنيني الأساسي ₁f يهتز الوتر اهتزازاً واسعاً ويظهر كشيء ضبابي غير واضح المعالم بين الحدين الموضحين ، وهذا مثال واضح لظاهرة كشيء ضبابي غير واضح المعالم بين الحدين الموضحين ، وهذا مثال واضح لظاهرة الموجبات المستقرة المذكورة آنفاً هذا وتبين التجربة أن الوتر يرن أيضاً عند ترددات أعلى أخرى ، كما هو مبين بالأجزاء (ب) ، (جـ) ، (د) من الشكل . وملخص ذلك أن حالة زنين الوتر تحدث عند التردد الأساسي f₁ وعند ترددات أعلى قدرها 2f₁ ، 3f₁ ، 4f₁ ......... وهكذا.

وهناك طريقة سهلة لتحديد الشروط التي يحدث عندها الزنين . فبالنظر إلى الشكل 1)) يمكننا ملاحظ أن الوتر يرن في قطع صحيحة ــ حيث تعني القطعة المسافة بين عقدتين متجاورتين أو بطنين متجاورين ــ وأن الطرفين الثابتين عقدتان دائماً . وعليه فإن الوتر يرن عندما يساوي طوله قطعة واحدة أو قطعتين .... وهكذا .وحيث أن طول القطعة λ ½ فإن ذلك يعنى حدوث الرنين عندما يكون طول الوتر /2λ أو 2(λ/2) أو 3(λ/2).....و هكذا ، وبذلك يمكننا القول عموماً ان الوتر المثبت بشدة من طرفيه يمكن ان يرن إذا كان طوله عدداً صحيحاً من انصاف الطول الموجي. فمثلاً طول الوتر في الشكل 1) ب ــ د) يساوي /2λ و 2(λ/2) و3(λ/2) و4(λ/2) إذن ، يمكن كتابة شرط الرنين في حالة وتر مثبت من طرفيه على الصورة:

(1)        

حيث n = 1, 2, 3,….. ، _nλ هو الطول الموجي عندما يرن الوتر في عدد قدره n من القطع . وحيث ان الطول الموجي يرتبط بالتردد ، يمكننا ان نرى مباشرة أن رنين الوتر المثبت من طرفيه يحدث فقط عند ترددات خاصة جداً ، ويقال عندئذ أن الترددات الرنينية للوتر تكممية ، بمعنى ان هذه الترددات لها قيمة حادة محددة يفصل بينهما ثغرات من الترددات المحظورة. ومن الواضح أن قيم الترددات الرنينية تساوي مضاعفات صحيحة للتردد الرنين الأساسي ₁f: