حركة جسيم تحت تأثير قوة يتناسب مقدارها مع بعد الجسيم عن موضع اتزانه واتجاهها دائمًا نحو موضع الاتزان تُسمى حركة توافقية بسيطة. دعنا نعتبر، مثلًا، جُسيمًا متحركا في بعد واحد على سطح أفقي أملس. وكان زنبرك ما مربوطا بالجسيم ونهايته الأخرى مربوطة في حائط كما في شكل 6–1.

ليكن طول الاتزان للزنبرك L، والطول الفعلي للزنبرك عند لحظة معينة L + x. من المفترض أنه في حالة الاتزان تكون ملفات الزنبرك مفتوحة جزئيا بحيث يمكن أن تكون x إما موجبة أو سالبة. إذا كانت x موجبة فإن الزنبرك يؤثر بقوة نحو اليسار، وإذا كانت x سالبة فإن الزنبرك يؤثر بقوة نحو اليمين الزنبرك المثالي يتبع قانون هوك، الذي ينص على أن مقدار القوة يتناسب مع مقدار x.

شكل 6–1: تعريف الاتزان في الحركة التوافقية البسيطة.

إذا استخدمنا متجه وحدة  يشير نحو الاتجاه الذي يبتعد عن الحائط، وكانت القوة التي يؤثر بها الزنبرك على الجسيم ، فإن التعبير الكمي لقانون هوك هو:

حيث K ثابت يسمى ثابت الزنبرك. الإشارة السالبة في المعادلة (1–6) تؤكد أنه إذا كانت موجبة (سالبة)، فإن القوة تتجه نحو اليسار (اليمين).

قانون هوك (على عكس قوانين نيوتن) ليس قانوناً جوهرياً في الطبيعة، لكن معظم الزنبركات تتبع قانون هوك إذا كانت x صغيرة بقدر كافٍ، وتحيد جميع الزنبركات عن قانون هوك إذا تمددت أو انضغطت بقدر كبير جدًّا. سوف نفترض أن مقدار x صغير بما يكفي لأن يكون قانون هوك صالحًا. وحيث إن عجلة الجسيم ، فإن قانون نيوتن الثاني يؤدي إلى:

المعادلة (2–6)، بالإضافة إلى الظروف الابتدائية (الموضع والسرعة الابتدائيين؛ أي مقداري x وdx/dt عند 0 = t)، تحدد على نحو تام الحركة التابعة رياضيا، مشكلتنا هي إيجاد دالة (t) تحقق المعادلة (2–6) (تسمى «معادلة تفاضلية») مبنية على قيمتين محددتين سالفًا لـ x وdx/dt عند 0 = t.

مثال 6–1 (استطراد رياضياتي). لتوضيح أن المعادلة (2–6) بالإضافة إلى قيمتين ابتدائيتين محددتين لـ x وdx/dt، تحدد على نحو فريد (x(t، يمكننا تخيل حل المعادلة (2–6) عدديًا. لتكن ε زيادة زمنية طفيفة جدًّا، ونجعل (من أجل تسهيل الترميز)  vتشير إلى dx/dt وa تشير إلى d²x/dt². وحيث إن (0)x و(0)v معلومتان، يمكننا حساب (ε)x و(ε)v باستخدام   حيث تعطينا المعادلة (2–6) قيمة (0)a بمعرفة (0)x نعلم الآن قيمتي (ε)x و(ε)v و(باستخدام المعادلة .(2–6)) (ε)a نستطيع الآن حساب (ε2) x و(ε2)v  و(ε2)a باستخدام ؛ وبذلك نستطيع أن نتقدم بزيادات زمنية طفيفة. يمكن استخدام هذا الإجراء لحل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية (معادلة تكون المشتقة الأعلى درجة بها مشتقةً ثانيةً) عدديًا حتى عندما لا نستطيع إيجاد حل بدلالة دوال مألوفة.