Uniquely k-Colorable Graph

A uniquely -colorable graph  is a -colorable graph such that every -coloring gives the same partition of  (Chao 2001).

Chao (2001) proved that there exist uniquely -colorable graphs with  and  vertices for every integer , and that there exit two uniquely -colorable graphs  and  vertices that are chromatically equivalent.

The graph illustrated above is a 12-vertex 22-edge triangle-free graph that is three-colorable in exactly one way modulo permutations of colors (Harary et al. 1970). It is implemented in the Wolfram Language as GraphData["UniquelyThreeColorableGraph"], replacing the incorrect graph from Harary (1994, cover and p. 139).

Unfortunately, Harary et al. (1969; left bottom figure) and Harary (1994, p. 139; top and bottom right figures) give not just one but two incorrect versions of this graph. Neither of these is uniquely three-colorable, as can be seen by noting that in the left graph, the lower right-hand green vertex can be replaced with blue, whereas in the right graph, the lower left-hand red vertex can be replaced with blue.

Osterweil (1974) and Chao and Chen (1993) gave families of uniquely 3-colorable graphs without and with triangles, respectively.

---

REFERENCES

Chao, C.-Y. "Uniquely -Colorable and Chromatically Equivalent Graphs." Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 24, 3-103, 2001.

Chao, C.-Y. and Chen, Z. "On Uniquely 3-Colorable Graphs." Disc. Math. 112, 21-27, 1993.

Chia, G. L. "On Graphs Uniquely Colorable under the Action of Their Automorphism Groups." Disc. Math. 162, 281-284, 1996.

Harary, F. Graph Theory. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

Harary, F.; Hedetniemi, S.; and Robinson, R. "Erratum to 'Uniquely Colorable Graphs'." J. Combin. Th. 9, 221, 1970.

Harary, F.; Hedetniemi, S.; and Robinson, R. "Uniquely Colorable Graphs." J. Combin. Th. 6, 264-270, 1969.

Osterweil, L. J. "Some Classes of Uniquely 3-Colorable Graphs." Disc. Math. 8, 59-69, 1974.

Pemmaraju, S. and Skiena, S. Computational Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

خمسون عامًا من العطاء.. نجم الأعرجي خادم الزائرين بلا انقطاع

العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة مجالسها العزائية لإحياء شهر المحرم

العتبة العباسية المقدسة تطلق سلسلة محاضرات قرآنية عاشورائية في بابل

في مساء اليوم الخامس من المحرّم.. المواكب الكربلائيّة تواصل فعالياتها العزائية

المزيد

الآخبار الصحية

لهذا السبب.. إغلاق 25 مركزًا لعلاج الإدمان في مصر ؟

خلافا للاعتقاد الشائع.. علماء يكشفون أسرار بذور البطيخ ؟!

هذا ما يحدث لجسمك عند تناولك الطماطم بانتظام !

تعرف على أطعمة تسرّع "تعافي الجسم" من حروق الشمس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الثلوج تغطي الصحراء الأكثر جفافا في العالم!

بتلسكوب "ألما".. التقاط صورا غير مسبوقة لبدايات الكون !

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

المزيد

مواضيع ذات صلة

Minimum Spanning Tree

Maximum Leaf Number

Lobster Graph

Labeled Tree

Internal Path Length

Red-Black Tree

Pseudotree

Pseudoforest

Prüfer Code

Planted Tree

Planted Planar Tree

Graph Strength