المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
غزوة الحديبية والهدنة بين النبي وقريش
2024-11-01
بعد الحديبية افتروا على النبي « صلى الله عليه وآله » أنه سحر
2024-11-01
المستغفرون بالاسحار
2024-11-01
المرابطة في انتظار الفرج
2024-11-01
النضوج الجنسي للماشية sexual maturity
2024-11-01
المخرجون من ديارهم في سبيل الله
2024-11-01

علاقة الامراض بالبيئة والعوامل البيئية المؤثرة على حدوث الاصابة
30-6-2016
وجوب الإنابة في الحج
14-8-2017
التصريع
24-09-2015
القرآن المجيد والكذب
14-7-2019
ترجمة ولد ابن عبد الملك
2024-08-09
اللهم لا تكلني الى نفسي طرفة عين أبداً
17-7-2017

Differential k-Form  
  
1410   05:36 مساءً   date: 6-7-2021
Author : المرجع الالكتروني للمعلوماتيه
Book or Source : www.almerja.com
Page and Part : ...

Differential k-Form

A differential k-form is a tensor of tensor rank k that is antisymmetric under exchange of any pair of indices. The number of algebraically independent components in n dimensions is given by the binomial coefficient (n; k). In particular, a one-form omega^1 (often simply called a "differential") is a quantity

 omega^1=b_1dx_1+b_2dx_2+...+b_ndx_n,

(1)

where b_1=b_1(x_1,x_2,...,x_n), ..., b_n=b_n(x_1x_2, ..., x_n) are the components of a covariant tensor. Changing variables from x to y gives

omega^1 = sum_(i=1)^(n)b_idx_i

(2)

= sum_(i=1)^(n)sum_(j=1)^(n)b_i(partialx_i)/(partialy_j)dy_j

(3)

= sum_(j=1)^(n)b^__jdy_j,

(4)

where

 b^__j=sum_(i=1)^nb_i(partialx_i)/(partialy_j),

(5)

which is the covariant transformation law.

p-alternating multilinear form on a vector space V corresponds to an element of  ^ ^pV^*, the pth exterior power of the dual vector space to V. A differential p-form on a manifold is a bundle section of the vector bundle  ^ ^pT^*M, the pth exterior power of the cotangent bundle. Hence, it is possible to write a p-form in coordinates by

 sum_(|I|=p)a_Idx_(i_1) ^ ... ^ dx_(i_p)

(6)

where I ranges over all increasing subsets of p elements from {1,...,n}, and the a_I are functions.

An important operation on differential forms, the exterior derivative, is used in the celebrated Stokes' theorem. The exterior derivative d of a p form is a (p+1)-form. In fact, by definition, if x_i is the coordinate function, thought of as a zero-form, then d(x_i)=dx_i.

Another important operation on forms is the wedge product, or exterior product. If alpha is a p-form and beta is q-form, then alpha ^ beta is a p+q form. Also, a p-form can be contracted with an r-vector, i.e., a bundle section of  ^ ^rTM, to give a (p-r)-form, or if r>p, an (r-p)-vector. If the manifold has a metric, then there is an operation dual to the exterior product, called the interior product.

In higher dimensions, there are more kinds of differential forms. For instance, on the tangent space to R^2 there is the zero-form 1, two one-forms dx and dy, and one two-form dx ^ dy. A one-form can be written uniquely as fdx+gdy. In four dimensions, dx_1 ^ dx_2+dx_3 ^ dx_4 is a two-form that cannot be written as a ^ b.

The minimum number of terms necessary to write a form is sometimes called the rank of the form, usually in the case of a two-form. When a form has rank one, it is called decomposable. Another meaning for rank of a form is its rank as a tensor, in which case a p-form can be described as an antisymmetric tensor of rank p, in fact of type (0,p). The rank of a form can also mean the dimension of its form envelope, in which case the rank is an integer-valued function. With the latter definition of rank, a p-form is decomposable iff it has rank p.

When n is the dimension of a manifold M, then n is also the dimension of the tangent space TM_x. Consequently, an n-form always has rank one, and for p>n, a p-form must be zero. Hence, an n-form is called a top-dimensional form. A top-dimensional form can be form-integrated without using a metric. Consequently, a p-form can be integrated on a p-dimensional submanifold. Differential forms are a vector space (with a C-infty topology) and therefore have a dual space. Submanifolds represent an element of the dual via integration, so it is common to say that they are in the dual space of forms, which is the space of currents. With a metric, the Hodge star operator * defines a map from p-forms to (n-p)-forms such that **=(-1)^(p(n-p)).

When f:M->N is a smooth map, it pushes forward manifold tangent vectors from TM to TN according to the Jacobian f_*. Hence, a differential form on N pulls back to a differential form on M.

 f^*alpha(v_1 ^ ... ^ v_p)=alpha(f_*v_1 ^ ... ^ f_*v_p)

(7)

The pullback map is a linear map which commutes with the exterior derivative,

 f^*(dalpha)=df^*(alpha).



الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.