المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر


Knot Symmetry  
  
1296   06:05 مساءً   date: 19-6-2021
Author : Bonahon, F. and Siebermann, L.
Book or Source : "The Classification of Algebraic Links." Unpublished manuscript.
Page and Part : ...


Read More
Date: 6-5-2021 1666
Date: 15-7-2021 1064
Date: 10-8-2021 1263

Knot Symmetry

A symmetry of a knot K is a homeomorphism of R^3 which maps K onto itself. More succinctly, a knot symmetry is a homeomorphism of the pair of spaces (R^3,K). Hoste et al. (1998) consider four types of symmetry based on whether the symmetry preserves or reverses orienting of R^3 and K,

1. preserves R^3, preserves K (identity operation),

2. preserves R^3, reverses K,

3. reverses R^3, preserves K,

4. reverses R^3, reverses K.

This then gives the five possible classes of symmetry summarized in the table below.

class symmetries knot symmetries
c 1 chiral, noninvertible
+ 1, 3 + amphichiral, noninvertible
- 1, 4 - amphichiral, noninvertible
i 1, 2 chiral, invertible
a 1, 2, 3, 4 + and - amphichiral, invertible

In the case of hyperbolic knots, the symmetry group must be finite and either cyclic or dihedral (Riley 1979, Kodama and Sakuma 1992, Hoste et al. 1998). The classification is slightly more complicated for nonhyperbolic knots. Furthermore, all knots with <=8 crossings are either amphichiral or invertible (Hoste et al. 1998). Any symmetry of a prime alternating link must be visible up to flypes in any alternating diagram of the link (Bonahon and Siebermann, Menasco and Thistlethwaite 1993, Hoste et al. 1998).

D16Knot D9Knot

The following tables (Hoste et al. 1998) give the numbers of n-crossing knots belonging to cyclic symmetry groups Z_k (Sloane's A052411 for Z_1 and A052412 for Z_2) and dihedral symmetry groups D_k (Sloane's A052415 through A052422). Of knots with 16 or fewer crossings, there are only one each having symmetry groups Z_3D_(14), and D_(16) (above left). There are only two knots with symmetry group D_9, one hyperbolic (above right), and one a satellite knot. In addition, there are 2, 4, and 10 satellite knots having 14-, 15-, and 16-crossings, respectively, which belong to the dihedral group D_infty.

n Z_1 Z_2 Z_3 Z_4
1 0 0 0 0
2 0 0 0 0
3 0 0 0 0
4 0 0 0 0
5 0 0 0 0
6 0 0 0 0
7 0 0 0 0
8 0 0 0 0
9 2 0 0 0
10 24 3 0 0
11 173 14 0 0
12 1047 57 0 0
13 6709 210 0 0
14 37177 712 0 2
15 224311 2268 1 0
16 1301492 7011 0 11
n D_1 D_2 D_3 D_4 D_5 D_6 D_7 D_8 D_9 D_(10) D_(14) D_(16)
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 4 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
8 4 12 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0
9 13 23 3 4 0 3 0 0 0 0 0 0
10 66 62 1 5 0 1 0 0 0 1 0 0
11 217 134 2 11 0 0 0 0 0 0 0 0
12 728 309 6 18 0 8 1 2 0 0 0 0
13 2391 647 1 21 2 3 1 2 0 0 0 0
14 7575 1463 4 31 2 2 0 0 0 0 1 0
15 23517 3065 50 53 3 12 0 2 1 4 0 0
16 73263 6791 15 89 0 10 1 8 1 1 0 1

REFERENCES:

Bonahon, F. and Siebermann, L. "The Classification of Algebraic Links." Unpublished manuscript.

Hoste, J.; Thistlethwaite, M.; and Weeks, J. "The First 1701936 Knots." Math. Intell. 20, 33-48, Fall 1998.

Kodama K. and Sakuma, M. "Symmetry Groups of Prime Knots Up to 10 Crossings." In Knot 90, Proceedings of the International Conference on Knot Theory and Related Topics, Osaka, Japan, 1990 (Ed. A. Kawauchi.) Berlin: de Gruyter, pp. 323-340, 1992.

Menasco, W. and Thistlethwaite, M. "The Classification of Alternating Links." Ann. Math. 138, 113-171, 1993.

Riley, R. "An Elliptic Path from Parabolic Representations to Hyperbolic Structures." In Topology of Low-Dimensional Manifolds, Proceedings, Sussex 1977 (Ed. R. Fenn). New York: Springer-Verlag, pp. 99-133, 1979.

Sloane, N. J. A. Sequences A052411, A052412, A052415, A052416, A052417, A052418, A052420, and A052422 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.