المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
غزوة الحديبية والهدنة بين النبي وقريش
2024-11-01
بعد الحديبية افتروا على النبي « صلى الله عليه وآله » أنه سحر
2024-11-01
المستغفرون بالاسحار
2024-11-01
المرابطة في انتظار الفرج
2024-11-01
النضوج الجنسي للماشية sexual maturity
2024-11-01
المخرجون من ديارهم في سبيل الله
2024-11-01


Goat Problem  
  
1100   04:32 مساءً   date: 14-4-2020
Author : Hoffman, M. E.
Book or Source : "The Bull and the Silo: An Application of Curvature." Amer. Math. Monthly 105
Page and Part : ...


Read More
Date: 8-12-2020 793
Date: 10-9-2020 593
Date: 8-11-2020 524

Goat Problem

The goat problem (or bull-tethering problem) considers a fenced circular field of radius a with a goat (or bull, or other animal) tied to a point on the interior or exterior of the fence by means of a tether of length L, and asks for the solution to various problems concerning how much of the field can be grazed.

GoatProblem

Tieing a goat to a point on the interior of the fence with radius a=1 using a chain of length L=r, consider the length of chain that must be used in order to allow the goat to graze exactly one half the area of the field. The answer is obtained by using the equation for a circle-circle intersection

A = r^2cos^(-1)((d^2+r^2-R^2)/(2dr))+R^2cos^(-1)((d^2+R^2-r^2)/(2dR))-1/2sqrt((-d+r+R)(d+r-R)(d-r+R)(d+r+R))

(1)

GoatProblemPlot

Taking R=d=1 gives

 A(r)=-1/2rsqrt(4-r^2)+r^2cos^(-1)(1/2r)+cos^(-1)(1-1/2r^2),

(2)

plotted above. Setting A=pi/2 (i.e., half of piR^2) leads to the equation

 -1/2rsqrt(4-r^2)+r^2cos^(-1)(1/2r)+cos^(-1)(1-1/2r^2)=1/2pi,

(3)

which cannot be solved exactly, but which has approximate solution

 r=1.15872847...

(4)

(OEIS A133731).

Now instead consider tieing the goat to the exterior of the fence (or equivalently, to the exterior of a silo whose horizontal cross section is a circle) with radius a. Assume that L<=api, so that the goat is not able to reach further around than the point on the fence opposite his starting point (Hoffman 1998, where we have replaced Hoffman's bull with a more prosaic goat). The goat may obviously graze inside the interior of a semicircle of radius L whose diameter is tangent to the fence. In addition, the goat may graze two area on either side of the semicircle that have the fence as the inner boundary and a circle evolute as the outer boundary. To find the area of this region, assume the fence is oriented so that the farthest point around the circumference that the goat can reach is at position (a,0). Now, note that the equation for a circle involute is given by

x(t) = a(cost+tsint)

(5)

y(t) = a(sint-tcost).

(6)

From geometry, the goat will transition between being radially bound and being bound by pulling tangent to the circle at the point where r^2=L^2+a^2, so

r^2 = x^2+y^2

(7)

= a^2(1+t^2)

(8)

= L^2+a^2.

(9)

Equating (8) and (9) and solving for t then shows that this occurs at parameter t=L/a. The area of the involute portion that the goat can graze is then given by

A_(involute) =

(10)

= 1/2a^2int_0^(L/a)t^2dt

(11)

= (L^3)/(6a).

(12)

Adding twice this area to the area of a semicircle of radius a then gives the total area which the goat can graze as

 A=(piL^2)/2+(L^3)/(3a).

(13)

TetheredBullProblem

The grazable areas are illustrated above for a number of ratios of L/a. Note that the case L/a=pi forms a curve that resembles, but is not equivalent to, a cardioid.


REFERENCES:

Hoffman, M. E. "The Bull and the Silo: An Application of Curvature." Amer. Math. Monthly 105, 55-58, 1998.

Sloane, N. J. A. Sequence A133731 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.