المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
نظرية زحزحة القارات وحركة الصفائح Plate Tectonic and Drifting Continents
2024-11-24
نظرية ثاني اوكسيد الكاربون Carbon dioxide Theory
2024-11-24
نظرية الغبار البركاني والغبار الذي يسببه الإنسان Volcanic and Human Dust
2024-11-24
نظرية البقع الشمسية Sun Spots
2024-11-24
المراقبة
2024-11-24
المشارطة
2024-11-24


Modular Inverse  
  
917   11:58 صباحاً   date: 10-1-2020
Author : Sloane, N. J. A
Book or Source : equence A102057 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Page and Part : ...


Read More
Date: 3-11-2020 530
Date: 16-1-2020 591
Date: 4-11-2020 570

Modular Inverse

A modular inverse of an integer b (modulo m) is the integer b^(-1) such that

 bb^(-1)=1 (mod m).

A modular inverse can be computed in the Wolfram Language using PowerMod[b-1m].

Every nonzero integer b has an inverse (modulo p) for p a prime and b not a multiple of p. For example, the modular inverses of 1, 2, 3, and 4 (mod 5) are 1, 3, 2, and 4.

If m is not prime, then not every nonzero integer b has a modular inverse. In fact, a nonzero integer b has a modular inverse modulo m iff b and m are relatively prime. For example, 1^(-1)=1 (mod 4) and 3^(-1)=3 (mod 4), but 2 does not have a modular inverse.

 1 
12 
103 
1324 
10005 
145236

The triangle above (OEIS A102057) gives modular inverses of b (mod m) for b=1, 2, ..., m-1 and m=2, 3, .... 0 indicates that no modular inverse exists.

If b and m are relatively prime, there exist integers x and y such that bx+my=1, and such integers may be found using the Euclidean algorithm. Considering this equation modulo m, it follows that bx=1; i.e., x=b^(-1) (mod m).

If b and m are relatively prime, then Euler's totient theorem states that b^(phi(m))=1 (mod m), where phi(m) is the totient function. Hence, b^(-1)=b^(phi(m)-1) (mod m).



REFERENCES:

Sloane, N. J. A. Sequence A102057 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.