المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
غزوة مؤتة وما بعدها إلى فتح مكة
2024-11-02
من غزوة خيبر إلى غزوة مؤتة
2024-11-02
غزوة خيبر
2024-11-02
دين الله ولاية المهدي
2024-11-02
الميثاق على الانبياء الايمان والنصرة
2024-11-02
ما ادعى نبي قط الربوبية
2024-11-02


Ruffini,s Rule  
  
841   03:57 مساءً   date: 20-11-2019
Author : Lipschutz, S
Book or Source : Schaum,s Outline of Linear Algebra. New York: McGraw-Hill
Page and Part : ...


Read More
Date: 17-10-2019 589
Date: 2-3-2020 619
Date: 20-8-2020 1084

Ruffini's Rule

Ruffini's rule a shortcut method for dividing a polynomial by a linear factor of the form x-a which can be used in place of the standard long division algorithm. This method reduces the polynomial and the linear factor into a set of numeric values. After these values are processed, the resulting set of numeric outputs is used to construct the polynomial quotient and the polynomial remainder.

Note that Ruffini's rule is a special case of the more generalized notion of synthetic division in which the divisor polynomial is a monic linear polynomial. Confusingly, Ruffini's rule is sometimes referred to as synthetic division, thus leading to the common misconception that the scope of synthetic division is significantly smaller than that of the long division algorithm.

For an example of Ruffini's rule, consider 3x^3-6x+2 divided by x-2. First, if a power of x is missing from the dividend, a term with that power and a zero coefficient must be inserted into the correct position in the polynomial. In this case the x^2 term is missing from the dividend, so 0x^2 must be added between the cubic and linear terms:

 3x^3+0x^2-6x+2.

(1)

Next, all the variables and their exponents (x^3x^2x) are removed from the dividend, leaving only a list of the dividend's coefficients: 30-6, and 2. Next, because only the constant term (2) of the linear factor x-2 is necessary for Ruffini's rule, the divisor is modified into a one-term "sequence" 2. Note that if the divisor were x+2, rewriting as x-(-2) would result in a modified divisor sequence of -2 instead.

The numbers representing the divisor and the dividend sequences are placed into a division-like configuration:

SyntheticDivision1

The first number in the dividend (3) is put into the first position of the result area (below the horizontal line). This number is the coefficient of the x^3 term in the original dividend polynomial:

SyntheticDivision2

Then this first entry in the result (3) is multiplied by the divisor (2) and the product is placed under the next term in the dividend (0):

SyntheticDivision3

Next the number from the dividend and the result of the multiplication are added together and the sum is put in the next position on the result line:

SyntheticDivision4

This process is continued for the remainder of the numbers in the dividend:

SyntheticDivision5

The result is the sequence 36614. All numbers except the last become the coefficients of the quotient polynomial. Since a cubic polynomial was divided by a linear term, the quotient is a 2nd degree polynomial:

 3x^2+6x+6.

(2)

The last entry in the result list (namely, 14) is the remainder. The quotient and remainder can be combined into one expression:

 3x^2+6x+6+(14)/(x-2).

(3)

(Note that no division operations were performed to compute the answer to this division problem.)

To verify that this process has worked, one can multiply the quotient by the divisor and add the remainder to obtain the original dividend polynomial:

(3x^2+6x+6)×(x-2) = 3x^3-6x-12

(4)

(3x^3-6x-12)+14 = 3x^3-6x+2.

(5)

Ruffini's rule can be used in conjunction with the polynomial remainder theorem to evaluate a polynomial at a real value. For example, consider the polynomial

 f(x)=3x^5-38x^3+5x^2-1.

(6)

To find the value of f(4), the remainder theorem states that f(4) is the remainder when f(x) is divided by x-4. Using Ruffini's rule, one obtains:

SyntheticDivision6

Therefore f(4)=719.


REFERENCES:

Lipschutz, S. Schaum's Outline of Linear Algebra. New York: McGraw-Hill, pp. 326-327, 2000.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Polynomials and Rational Functions." §5.3 in Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 173-176, 1992. http://www.library.cornell.edu/nr/bookcpdf/c5-3.pdf.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.