العنوان: تعميمات الـGCD-Domain من النوع

a+xb[[x]]  ,   a+xb[x]

 اسم الباحث:   ماهرة ربيع قاسم النعمة 

الجامعه والكليه:  كلية التربية في جامعة تكريت

الخلاصه :

لتكن R حلقة ابدالية ذات عنصر محايد و في حقيقة الامر , إذا كان لكل زوج من عناصر R  قاسم مشترك أعظم GCD في R عند ذلك تسمى R  مجال GCD . والجدير بالذكر  أن مجال R يسمى schreier ابتدائية  اينما يكون العنصر X ينتمي الى r  غير الصفري يقسم a₁ a₂ مع a₁, a₂ تنتمي الىٌ R و يمكن لـ X أن تكتب بالشكل الاتي x = x₁x₂ حيث أن x_i تقسم a_i  و iالتي تساوي 1و2 . أن المجال المغلق بشكل تكامليً من schreier الابتدائية يسمى مجال ا لـ schreier. و من المعروف أن أي مجال لـGCD هو مجال لـ schreier. و فيما بعض النتائج التي تم إثباتها في هذا العمل:

1. لتكن  A Í B مجالاً موسعا، فتكون A+(x, y) B[x, y]   مجال gcd إذا  كان a مجال gcd و كان a=B.
2. لتكن A Í B  مجالاً موسعاً و كانت x  قيمة ابتدائية في a +xB[x]، فيكون   b= A_s مع S=U(b) ∩ A .
3. لتكن A Í B مجالاً موسعاً و كانت x  قيمة ابتدائية في a+xb[[x]]، فيكون   b= a_s مع s= U(b)A.
4. لتكن A Í B  مجالاً موسعاً و لتكن r= a +xb[x]، إذا كانت R عبارة عن schreier ابتدائية، سيكون b  حلقة خارج القسمة من حلقة a، و باختصار أكثر     (b= a_s , S = U(b) ∩a) .
5. لتكن A Í B مجالاً موسعاً و لتكن r= a+ xb[[x]]. إذا كانت r  schreier  ابتدائية ، ستكون b    خارج القسمة  من حلقة a، و باختصار أكثر              b= a_s , S=U(B) ∩a.
6. ان مجال r  هو schreier ابتدائية فضلأ عن  كون R_s   schreier ابتدائية لبعض التعويضات المضاعفة لـ S من R تولدت من عناصر ابتدائية تماماً.
7. A Í B   مجالاً موسعاً. افتراضأ بوجود حلقة تشاكل A:R بحيث ان 

(a)=a لكل a ينتمي الى A.

• إذا كانت S وحدة ابتدائية لـA بحيث ان) Í sR) ker  ستكون S  ابتدائية في R.
• إذا كان S  ينتمي إلى A  و S ابتدائية في R، ستكون S  أيضاً ابتدائية في A.
• إذا كان R  schreier ابتدائية، سيكون A  أيضاً schreier ابتدائية.

•   A Í B  مجالاً موسعاً و S= U(B) ∩ A سيكون A= xB[x] مجال schreier ابتدائية إذا كان و فقط إذا كان A schreier ابتدائية و B=A_s و A_S schreier.
• لتكن A Í B مجالاً موسعاً و S= U(B) ∩A سيكون A+xB[[x]] مجال schreier ابتدائية إذا و فقط إذا كان A schreier ابتدائية وكان B= A_s و A_s يمثل schreier.
• إذا كان A Í B  يمثل مجالاً موسعاً، فإذا كان   A+ xB[x] مجال schreier ابتدائية سيكون كذلك ل A+ (x₁, ……x_n)B[x₁,x₂….x_n]  لكل n.
• لتكن A Í B    مجالاً موسعاً , فإذا كان a+xB[[x]]  مجال schreier ابتدائية سيكون كذلك ل A+ (x₁, ……x_n)B[[x₁, …….x_n]] لكل n.
• لتكن A Í B  مجالاً موسعاً و S=U(B) ∩A سيكون A+ xB[x] مجال  schreier إذا و فقط إذا كان B= A_s و إذا كان A يمثل schreier.
• لتكن A Í B  مجالاً موسعاً و S= U(B) ∩A سيكون A+ xB[[x]] تمثل schreier إذا و فقط إذا كان B= A_s و كان A  يمثل schreier.

 

Let R be a commutative ring with identity .In fact ,  if each pair of elements of R has a Greatest Common Divisor (GCD) in R, then R is called a GCD- domain. Recall that, a domain R is called pre-Schreier if whenever a non- zero xR divides a₁a₂ with a₁, a₂  R, x can be written as x = x₁x₂ such that x_i divides a_i , i =1,2 . A pre-  Schreier integrally closed domain is called Schreier domain. It is known that any GCD domain is a schreier domain. We sellect some of our  results in this work:

Let A and B are two domains .

 1-   Let A Í B be an extension domain of A, then A+(x, y) B[x,y] is a GCD-domain   if   A is a  GCD-domain and A=B.

 2-  Let A Í B be an extension domain of A and x is primal in A+xB[x], then B=As with S=U(B) ∩ A.  

3-  Let A Í B be an extension domain of A and x is primal in A+xB[[x]] , then B=A_s with S=U(B) ∩ A.

4-   Let A Í B be an extension domain of A and let R=A+xB[x]. If R is pre-Schreier , then B is quotient ring of A , more precisely (B=A_s with S= U (B) ∩ A).

5-   Let A  Í   B  be an extension domain of A and  let R=A+xB[[x]].If R is pre-Schreier, then B is quotient ring of A , more precisely (B=A_s with S=U(B) ∩ A).

6-  A domain R is a pre-Schreier provided R_s is Pre-Schreier for some multiplicative subset S of R generated by completely primal elements .

7-   Let A Í R be an extension  domain .Assume that there exists a ring homomorphism :R   A  such that (a)=a   "a A.

 i- If s is a primal element of A,such that: ker() Í sR,then  s is      primal in R.

 

 ii-If s Î A and s is primal in R , then s is also primal in A.

 iii- If R is pre-Schreier , then A is also pre-Schreier.

8-  Let A Í B be an extension domain of A and S=U(B) ∩ A.Then A + xB[x] is a pre-Schreier domain  if and only if A is pre-Schreier and B=A_s and As is Schreier.

9- Let A Í B extension domain  of A and S=U(B) ∩ A. Then A+xB[[x]] is pre-Schreier domain if and only if  A is pre-Schreier . And B=A_s and As[[x]] is pre-Schreier domain.

10-  Let A Í B be an extension domain of A , if A+xB[x] is a pre-Schreier,then so is A+(x₁,…,x_n)B[x₁,…,x_n] for each n.

11-  Let A Í B be an extension domain of A, if A+xB[[x]] is pre-Schreier,then so is A+(x₁,…,x_n)B[[x₁,…,x_n]] for each  n.

12-  Let AÍ B be an extension domain of A and S=U(B) ∩A. Then A+xB[x]  is Schreier  if and only if  B=A_s and A is Schreier.

13-   Let A Í B  be an extension domain of A and  S= U(B) ∩ A.Then A+xB[[x]] is Schreier   if and only if   B=A_s  and A is Schreier.

 

 

ملاحظه: للحصول على الملف كاملا يمكنكم مراسلتنا عل البريد الالكتروني 

(almerjamathematics@gmail.com)

مواضيع ذات صلة

الحلول العددية للمعادلات التباطؤية الاعتيادية ذات التباطؤ الصغير باستخدام الطرائق متعددة الخطوات

الحلول العددية للمعادلات التفاضلية الكسرية

حل المعادلات ذات البعدين (التكاملية و التكاملية-التفاضلية)

بعض النتائج لدوال متعددة القيم فيما يختص بنظريات النقطة الصامدة وتكرارات ايشكاوا

حول مقارنة طرق التقدير لمعلمة ودالة البقاء للتوزيع الاسي باستخدام المحاكاة

حول مقاسات أولية كاذبة ومقاسات جزئية أولية كاذبة

الحلول الدورية لبعض أنظمة المعادلات التفاضلية اللاخطية ذات التأثير النبضي

خوارزميات هجينية لخوارزمية شبيهة نيوتن في الأمثلية ذات القياس الواسع

تحليل الاستقرارية والحل العددي لمعادلة Huxley

الخوارزميـــات القـــــــابلة للتوســـع فــــي الأمثليـــــــــة غير المقيدة ذات القيــــــاس العالي

حول الفضاءات التبولوجية المضببة الحدسية الخاصة

في شبه الزمرة شبه - المفعمة في الزمرة شبه- التبولوجية