Let K be a simplicial complex. We introduce below boundary homomorphisms ∂_q: C_q(K) → C_q−1(K) between the chain groups of K. If σ is an oriented q-simplex of K then ∂_q(σ) is a (q − 1)-chain which is a formal sum of the (q − 1)-faces of σ, each with an orientation determined by the orientation of σ.

Let σ be a q-simplex with vertices v₀, v₁, . . . , v_q. For each integer j between 0 and q we denote by hv0, . . . , vˆ_j, . . . , vqi the oriented (q − 1)-face 〈v₀, . . . , v_j−1, v_j+1, . . . , v_q〉

of the simplex σ obtained on omitting v_j from the set of vertices of σ. In particular

             〈vˆ₀, v₁, . . . , v_q〉 ≡ 〈v₁, . . . , v_q〉, 〈v₀, . . . , v_q−1, vˆ_q〉 ≡ 〈v₀, . . . , v_q−1〉.

Similarly if j and k are integers between 0 and q, where j < k, we denote by

〈v₀, . . . , vˆ_j , . . . , vˆ_k, . . . v_q〉

the oriented (q−2)-face 〈v₀, . . . , v_j−1, v_j+1, . . . , v_k−1, v_k+1, . . . , v_q〉 of the simplex σ obtained on omitting vj and vk from the set of vertices of σ.

We now define a ‘boundary homomorphism’ ∂_q: C_q(K) → C_q−1(K) for each integer q. Define ∂_q = 0 if q ≤ 0 or q > dim K. (In this case one or other of the groups C_q(K) and C_q−1(K) is trivial.) Suppose then that 0 < q ≤ dim K. Given vertices v₀, v₁, . . . , v_q spanning a simplex of K, let

Inspection of this formula shows that α(v₀, v₁, . . . , v_q) changes sign whenever two adjacent vertices v_i−1 and vi are interchanged.

Suppose that v_j = vk for some j and k satisfying j < k. Then

α(v₀, v₁, . . . , v_q) = (−1)^j〈v₀, . . . , vˆ_j, . . . , v_q〉 + (−1)^k〈v₀, . . . , vˆ_k, . . . , v_q〉,

since the remaining terms in the expression defining α(v₀, v₁, . . . , v_q) con tain both v_j and v_k. However (v₀, . . . , vˆ_k, . . . , v_q) can be transformed to  (v₀, . . . , vˆ_j, . . . , v_q) by making k − j − 1 transpositions which interchange v_j successively with the vertices v_j+1, v_j+2, . . . , v_k−1. Therefore

〈v₀, . . . , vˆ_k, . . . , v_q〉= (−1)^k−j−1〈v₀, . . . , vˆ_j, . . . , v_q〉.

Thus α(v₀, v₁, . . . , v=) = 0 unless v₀, v₁, . . . , v_q are all distinct. It now follows immediately from Lemma 6.2 that there is a well-defined homomorphism ∂_q: C_q(K) → C_q−1(K), characterized by the property that

whenever v₀, v₁, . . . , v_q span a simplex of K.

Lemma 1.1 ∂_q−1 ◦ ∂_q = 0 for all integers q.

Proof The result is trivial if q < 2, since in this case ∂_q−1 = 0. Suppose that q ≥ 2. Let v₀, v₁, . . . , v_q be vertices spanning a simplex of K. Then

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

فرقة العباس (عليه السلام) تقدم أكثر من 15 ألف وجبة طعام يوميًا لزائري مدينة الكاظمية

العتبة العباسية المقدسة تقيم مجلس عزاء بذكرى شهادة الإمام الكاظم (عليه السلام) قرب مرقده الطاهر

المجمع العلمي يقيم محطة لتعليم القراءة الصحيحة للزائرين بمدينة الكاظمية بذكرى شهادة الإمام الكاظم (عليه السلام)

سماحة السيد الصافي يؤكد أهمية إعداد قواعد بيانات دقيقة لمتابعة احتياج مواقع العتبة العباسية المقدسة الخارجية

المزيد

الآخبار الصحية

6 فواكة تساعدك على الشعور بتحسّن عند المرض

حفاظا على صحة العين.. هذا أفضل وقت لتناول فيتامين أ

الاستخدام اليومي لسماعات الأذن.. أخطر مما تتصور !

هل توقيت نشاطك اليومي يؤثر على صحة دماغك؟.. العلماء يجيبون

المزيد

الآخبار التكنلوجية

ابتكار ألماني قد يغيّر مستقبل صناعة البلاستيك

تحديثات وأرباح عبر المشاهدات.. ما الذي تخطط له "لينكد إن"؟

"الكوكايين الوردي".. مخدر جديد يثير قلق السلطات الأميركية

دراسة: تغيّرات في أسلوب القيادة قد تكشف مبكرا عن الخرف !

المزيد

مواضيع ذات صلة

Triple Torus

Thurston Elliptization Conjecture

Thurston,s Geometrization Conjecture

Real Projective Plane

Pseudometric Topology

Pseudocrosscap

Parallelizable

Möbius Strip

Möbius Shorts

Path

Product Topology

Handle