الدالة:
من الظواهر التي نصادفها في حياتنا عادة ما يحدث من بعضها تأثير على البعض الآخر. فإذا تم صياغة هذا التأثير في صورة قانون او معادلة رياضية تفسر العلاقة بين هذه الظواهر ينتج الدالة. كما أن الظواهر المتغيرة والتي يتم التعبير عنها بكميات متغيرة يمكن أن تأخذ أكثر من قيمة في نفس القانون أو المعادلة الرياضية، في حين أن الظواهر الثابتة تأخذ قيمة واحدة لا تتغير وتظل ثابتة في القانون أو المعادلة.
على سبيل المثال: محيط الدائرة =( x 2π ) نجد أن المقدار 2 كمية ثابتة. πكمية ثابتة حيث (22/7 =π)، في حين أن المقدار x والذي يعبر عن نصف القطر يمثل كمية متغيرة يتغير من دائرة إلى أخرى. فإذا رمزنا إلى محيط الدائرة بالرمز: y ولنصف القطر بالرمز x نجد أن: y = 2πx وبالتالي يمكن تقدير قيمـة y بمعلومية قيمة x (1).
وبصفة عامة إذا ارتبط المتغيران x , y بعلاقة بينهما بحيث تتحدد قيمة y إذا علمت قيمة x ، في هذه الحالة نجد أن y دالة في المتغير x (أي تتغير تبعاً لتغير x) وتسمى x بالمتغير المستقل Dependent Variable ويسمى y بالمتغير التابع أو الدالة Independent Variable ، ويعبر عنها بالصورة التالية: (y = f(x
وتعتبر العلاقة السابقة دالة وحيدة القيمة ذلك أن كل قيمة للمتغير المستقل (x) يقابلها قيمة وحيدة فقط للمتغير التابع أو الدالة (y)، كما أن هذه الدالة تم صياغتها للتعبير عن علاقة ثنائية بين متغيرين؛ وهناك العديد من العلاقات الثنائية والتي يمكن صياغتها على النحو السابق مثل:
- العلاقة بين الدخل والاستهلاك.
- العلاقة بين الدخل والادخار.
- العلاقة بين حجم الإنتاج والأرباح.
- العلاقة بين عدد ساعات العمل وحجم الإنتاج.
كما أن هناك العلاقة بين ثلاث متغيرات أو أكثر مثل:
- العلاقة بين الدخل والاستهلاك والادخار.
- العلاقة بين حجم الإنتاج والتكاليف والأرباح.
في هذه الحالات يكون المتغير التابع (2) دالة في متغيرين (y, x) ويعبر عن
ذلك رياضياً كما يلي: (f (x = 2 Z=
مما سبق يمكن القول أن:
الدالة: هي صيغة رياضية للتعبير عن علاقة بين متغيرين أو أكثر أحدهما متغير تابع ويطلق عليه لفظ الدالة والآخر (الأخـرى) متغير (متغيرات) مستقلة.
تمثيل الدالة الخطية بيانياً (الحل البياني):
دالة الدالة الخطية هي من الدرجة الأولى وعند تمثيلها بيانياً فإنها تأخذ شكل
الخط المستقيم، وتأخذ الصيغة التالية: dx + ey = f.
حيث f,e,d كميات ثابتة مثل هذه العلاقة تسمى دالة أو معادلة خطية، والقيم e,d تسمى المعاملات coefficient فمعاملات المعادلة: 50= x-y2 هما 2، 1- ولتمثيل الدالة الخطية بيانياً فإنه يكفي فقط معرفة إحداثيات أي نقطتين على الخط المستقيم الممثل للدالة، وبتحديد موقع هاتين النقطتين على الرسم البياني والتوصيل بينهما نحصل على الخط المستقيم.
ولإيجاد إحداثيات نقطتين على الخط المستقيم هناك أكثر من طريقة:
(1) الطريقة الأولى: فرض قيمة عددية لأحد المتغيرين وليكن المتغير (x). وبالتعويض عنها في المعادلة نحصل على القيمة المقابلة للمتغير الآخر (y)، وبهذا نكون قد حصلنا على النقطة الأولى، ثم بتكرار ذلك بفرض قيمة أخرى لهذا المتغير أو ذاك وبالتعويض عنها نحصل على القيمة المقابلة للمتغير الآخر فنحصل على النقطة الثانية:
وبتحديد موقع النقطتين والتوصيل بينهما نحصل على تمثيل الدالة. والرسم البياني التالي يوضح ذلك:
(2) الطريقة الثانية: لإيجاد إحداثيات نقطتين على الخط المستقيم تتمثل في تحديد النقطتين الواقعتين على المحورين الأفقي والرأسي وذلك بوضع 0 = x ثم تحدد قيمة y فنحصل على النقطة الأولى وإحداثياتها (0, y)، ثم بوضع 0 = y وتحدد قيمة x فنحصل على النقطة الثانية وإحداثياتها (x ,0).
مثال: ارسم معادلة الخط المستقيم
وبتحديد النقطتين على الرسم البياني والتوصيل بينهما نحصل على شكل معادلة الخط المستقيم كما يلي:
عند تمثيل المعادلتين في المثالين السابقين معاً على رسم بياني واحد نجد أنهما يتقاطعان عند النقطة (1،2) كما في الشكل التالي. ومن السهل التأكد بأن النقطة (1،2) تحقق المعادلتان معاً، حيث بالتعويض في المعادلتين عن قيمتي x,y
(x = 1 , y = 2) نجد أن النقطة تحقق المعادلتين كما يلي:
في المعادلة الأولى:
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(1) د. عمر عبد الجواد عبد العزيز (مذكرات في الرياضيات التجارية لطلاب جامعة الزيتونة الأردنية ــ بدون ناشر) عمان، الأردن، 2004.
