لقد تحدثنا بالفعل عن المتجهات التي تشير إلى موقع الكواكب، وعند مناقشة القوى والسرعات والتسارعات من المفهوم ضمنا أننا أشرنا إلى الطبيعة الاتجاهية لهذه الكميات لتحديد المتجهات لا يكفي استخدام الأرقام أو الكميات اللامتجه البسيطة إشارة إلى مقدارها أو قيمتها المطلقة. ويتم التعبير عن المتجهات بواسطة أسهم يمثل طولها واتجاهها قيمة واتجاه المتجه، على التوالي.

على سبيل المثال، عند الإشارة إلى سرعة جسم، لا يكفي القول بعدد الأمتار التي تحركها في الثانية. يجب أن نحدد اتجاه حركته الجسم الساقط تكون له سرعة تتزايد بالنسبة للزمن المنقضي، ويكون اتجاهه عموديًا من أعلى إلى أسفل. نمثل هذه السرعة بمتجه عمودي بقيمة متزايدة، تشير نهايته إلى أسفل.

يتم أحيانًا استخدام المتجهات للتعبير عن موقع نقطة تتحرك بالنسبة لنقطة أخرى ثابتة. تلك حالة المتجه الشعاعي radius vector، الذي نشير إليه عند وصف قوانين كبلر. وأصل متجه نصف القطر يكون عند الشمس ونهايته عند الكوكب الذي يتحرك.

المتجهان المتوازيان A وB يتم جمعها ببساطة، ولمجموعهما نفس الاتجاه مثل جمع المتجهات لو كانا متوازيان لكن اتجاههما متضادان، يكون مجموعهما متجه معامل يساوي الفرق بين معاملي المتجهان المذكوران واتجاهه هو اتجاه المتجه ذو المعامل الأكبر.

لو أن المتجهان A و B غير متوازيان، لكن لهما اتجاهين مختلفين، يكون مجموعهما هندسياً متجه ثالث يتم الحصول عليه بنقل B موازيا لنفسه بحيث يتطابق أصله مع نهاية، وعندئذ بوصل أصل A مع نهاية B نحصل على مجموع A + B للمتجهين.

إذا كان لدينا نظام إحداثيات متعامدة Oxyz يمكن كتابة المتجه A باستخدام مركباته الثلاث على مجاور الإحداثيات (Ax+Ay+Az) A وهي التي يتم الحصول عليها من إسقاط المتجه عليها. ويتم الحصول على معامل A بواسطة:

حيث γ , β, α)) الزوايا بين محاورOx وOy  وOz على التوالي. وهكذا فإن المتجه في الأبعاد الثلاثة يتم تحديده باعتباره مجموعة متتابعة من ثلاثة أرقام وهي مركباته. دعنا نحدد وحدة المتجهات.

لأي نقطة مختارة عشوائيا بالنسبة لنظام الإحداثيات O_xyz، يمكن جمع الكميات الميكانيكية مثل الإزاحات والسرعات والتسارعات، والقوى.. إلخ، تبعا لعملية جمع المتجه أو الجمع الهندسي هذه.

لو أن لقوتين اتجاهين متضادين لكن معامل متساوي، يكون مجموع الكميات الموجهة لهما متجه صفري أي متجه ذو معامل صفر. ورغم ذلك، لا. هذا يعني بالضرورة أن التأثير الفيزيائي ملغي: لو أثرت القوتان عند نقطتين مختلفتين، سيكون لكل منهما تأثر ميكانيكي والقوى المتضادة مسؤولة عن التوازن الاستاتيكي – على سبيل المثال، بالنسبة لجسم وزنه G موجود على منضدة يؤثر الوزن G على المنضدة ورد فعل المنضدة R=-G يؤثر على الجسم. وتظهر القوى المضادة ذات المعاملات المتساوية أيضًا في الديناميكا، كما في حالة الشمس والكوكب ويتم التعبير عن تأثيرها المتبادل بقوى متضادة، لكن القوى تؤثر على نقاط مختلفة على الشمس والكوكب جمع الكميات الموجهة للقوى صفر، رغم أنها تسبب حركة الجسمين.

لو كان لدينا متجهان A وB، يكون المضروب العددي scalar product عدد يتم الحصول عليه بضرب معاملي كل متجه في جيب تمام الزاوية بين اتجاهها. وعادة ما يتم التعبير عن المضروب العددي بنقطة بين المتجهين:

والمضروب العددي لمتجهين يمكن التعبير عنه أيضًا لحاصل ضرب معامل أحد المتجهين بمسقط الآخر عليه. والمضروب العددي تبادلي، A.B – B.A ويضاف إلى ذلك أن = A² A. A أي أن مربع معامل متجه يتم الحصول عليه بالمضروب العددي للمتجه في نفسه. لو أن A وB متعامدان، عندئذ يكون 0 - A.B. لو أن، عدد ما يكون من الواضح أن ((CA). B = C (A.B. والمتجهات الواحدية unit vectors تفني بالخواص التالية:

وب العددي يتم استخدامه، على سبيل المثال، لحساب الشغل الناتج عن قوة ما.

الشكل 1

لذلك يمكن كتابة المضروب العددي على هيئة:

والمضروب العددي مفيد بشكل خاص في التعبير عن الشغل الذي تبذله قوة على جسيم يتحرك على مسار عشوائي بين نقطتين و عند كل نقطة على المنحنى يكون للقوة زاوية مع المماس للمنحنى عند هذه النقطة. ويمكن حساب الشغل الكلي الذي تبذله القوة بالطريقة التالية: قسم المنحنى إلى أجزاء عند النقاط 1 و2 و3 ... إلخ، وارسم الأوتار المناظرة ΔS₃ وΔS₂ وΔS₁ باعتبارها متجهات تصل بين النقاط p3: ،p2،p1،p_o إلخ. عندئذ خذ قيمة القوة عند نقطة عشوائية داخل كل من هذه الأجزاء. ليكن 3F, 2F, 1F إلى آخره هي قيم القوة عند هذه النقاط (الشكل 1). ثم احصل على مجموع المضرويات العددية:

عدد نقاط القسم إلى لانهاية، بحيث يميل معامل أكبر المتجهات عندما يميل. AS إلى الصفر، يتم الحصول على القوة باعتبارها:

ويتم التعبير عن ذلك بالرمز

وهو ما يطلق عليه تكامل خطي line integral بين Po و P.

ومضروب كميتين موجهتين vector product (أو حاصل الضرب التصالبي cross product) المتجهين يكون متجها جديدا، يتم الحصول عليه بإجراء عملية رياضية عليهما لتوضيح ذلك، نعتبر A وB متجهين في مستوى (الشكل2) حلل B

إلى متجهين آخرين، B وB2 (مجموعه) (B). المتجه B في اتجاه A بينما المتجه B2 في اتجاه عمودي على.A. والآن نعرف متجه ثالث نطلق عليه متجه حاصل ضرب A في، ويرمز له ب A×B، حيث يتصف بما يلي:

1.  معامله هو حاصل ضرب معامل A و B. أي يساوي حاصل ضرب معامل A وB في جيب الزاوية بينهما AB sine α   .
2. اتجاهه عمودي على السطح الذي يرسمه A وB ويتم تحديده كما يلي: لو أن اتجاه الدوران لتركيب A على B يتحدد بأصابع السبابة والوسطى والبنصر والخنصر لليد اليمنى (كما هو موضح في الشكل 2)، عندئذ يحدد الإبهام اتجاه AxB (باعتبار أن الزاوية » بين المتجهين أقل من 180°).

الشكل 2

هو مضروب كميتين موجهتين للمتجهين A وB وهو عبارة عن متجه ثالث عمودي على A وB ومعامله هو حاصل ضرب معاملي A وB مع جيب الزاوية بينهما، أو بشكل متكافئ، حاصل ضرب معامل أحدهما في مسقط الآخر على اتجاه عمودي على الأول. واتجاه متجه حاصل الضرب يتم الحصول عليه بقاعدة اليد اليمني كما هو موضح في الشكل (b). وصورة المرآة لا تكفي لتحديد مضروب كميتين موجهتين للمتجهين، لكنها تطيع قاعدة اليد اليسرى، حيث صورة اليد اليمنى هي اليد اليسرى.

إذا توخينا الدقة، لا يكون متجه حاصل ضرب متجهين متجه حقيقي، ولكن متجه زائف، حيث أن صورة المرآة لا تفي بالتعريف السابق، لكن قاعدة اليد اليسرى، والتي من الواضح أنها لا تكافئه صورة مرآة اليد اليمنى هي اليد اليسرى. وبالتالي، يعطي حاصل الضرب B×A متجه له نفس المعامل لكنه مضاد في الاتجاه ل A×B. وتلك نتيجة مهمة: متجه حاصل الضرب ليس تبادليا، لكن يمكن بالأحرى كتابة 0 - BA + AB، مما يعني أن مضروب كميتين موجهتين غير تبادلي. وبشكل خاص، A×A - 0 - B×B. ويمكن تعميم هذه الخاصية إلى مجالات ذات أبعاد أعلى، مما يؤدي إلى تعريف جبر خارجي أو جبر جراسمان بالنسبة للمتجهات الواحدية، نجد الخواص التالية.

وحيث أن حاصل الضرب غير تبادلي، لو أننا استبدلنا الزوج على اليسار، تتغير الإشارة على اليمين. وبالنسبة للمكونات نحصل على:

يمكن أن نرى بسهولة أن مضروب كميتين موجهتين يتلاشى لو أن المتجهات متوازية.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

انعقاد الجلسة البحثية باللغة الإنكليزية ضمن فعاليات المؤتمر التمهيدي لألفية حوزة النجف الأشرف

مقالة علمية تناقش الأهمية البالغة في معرفة مشايخ الشيخ الطوسي (قدس سره)

دراسة علمية تثبت تاريخ تأليف الشيخ الطوسي لكتاب الفهرست

باحث يقدم دراسة علمية بعنوان (الشيخ الطوسي والكبرى الرجالية تأصيلًا وتطبيقًا)

المزيد

الآخبار الصحية

اللوز.. "كنز صحي" يحمي دماغك

رفض اعتماد "لقاح موديرنا" للإنفلونزا.. وكشف الأسباب ؟

تحذير طبي من مرض شائع يزيد خطر الإصابة بنوعين من السرطان

الإنفلونزا لا تضرب الرئة فقط.. دراسة تكشف خطرها على القلب

المزيد

الآخبار التكنلوجية

سلاح طبي في ساحات الحرب.. رذاذ يوقف النزيف خلال ثانية !

مايكروسوفت تدق ناقوس الخطر وتحذر من "الذكاء الاصطناعي الخفي"

الإمارات تطلق شراكة عالمية مع ستارلينك لإتاحة التعليم الرقمي

"أوبن إيه آي" تختبر عرض الإعلانات داخل محادثات chatgpt

المزيد

مواضيع ذات صلة

الحركة الكوكبية في نظرية نيوتن

القانون الثالث لنيوتن

القانون الأول لنيوتن

قوانین نیوتن (مراجعه سريعة)

لغز الحركة

بقي درب (تطابق الكتلة العطالية والكتلة الثقالية)

الجبال الروسية

The Wedge

The Law of the Screw

Systems of Fixed and Movable Pulleys

The Inclined Plane

The Screw