Bond Percolation

In discrete percolation theory, bond percolation is a percolation model on a regular point lattice  in -dimensional Euclidean space which considers the lattice graph edges as the relevant entities (left figure). The precise mathematical construction for the Bernoulli percolation model version of bond percolation is given below.

First, define the set  of edges of  to be the set

{{x,y}:x,y in L^d,|x-y|=1}, " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/BondPercolation/NumberedEquation1.svg" style="height:25px; width:240px" />

(1)

and designate each edge of  to be independently "open" with probability  and closed with probability . Next, define an open path to be any path in  all of whose edges are open, and define the so-called open cluster  to be the connected component of the random subgraph of  consisting of only open edges and containing the vertex . Write . The main objects of study in the bond percolation model are then the percolation probability

(2)

and the critical probability

{p:theta(p)=0}, " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/BondPercolation/NumberedEquation3.svg" style="height:21px; width:159px" />

(3)

where  is defined to be the product measure

(4)

 is the Bernoulli measure which assigns  whenever  is closed and assigns  when  is open, and  is the percolation threshold. Bond models for which  will have infinite connected components (i.e., percolations) whereas those for which  will not.

In general, bond percolation is considered less general than site percolation due to the fact that every bond model may be reformulated as a site model on a different lattice but not vice versa. Mixed percolation is considered to be a bridge between the two. Note, too, the existence of several other variants of bond percolation; for example, one could drop the assumption of independence to obtain a non-Bernoulli, dependent bond model.

---

REFERENCES

Chayes, L. and Schonmann, R. H. "Mixed Percolation as a Bridge Between Site and Bond Percolation." Ann. Appl. Probab. 10, 1182-1196, 2000.

Grimmett, G. Percolation, 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1999.Hammersley, J. M. "A Generalization of McDiarmid's Theorem for Mixed Bernoulli Percolation." Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 88, 167-170, 1980.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

خدمة العتبتين المقدستين يحيون ذكرى شهادة الإمام علي (عليه السلام) عبر موكب عزاء موحد

شعبة الخطابة الحسينية النسوية تقيم برنامجًا لإحياء ليالي القدر وذكرى شهادة الإمام علي (عليه السلام)

المجمع العلمي يحيي ذكرى شهادة الإمام علي (عليه السلام) في بغداد

قسم الشؤون الفكرية يطلق عددًا خاصًّا من نشرة الخميس في ذكرى شهادة الإمام علي (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

خمسة مؤشرات صحية مهملة قد تنقذ حياتك

متى تكون الحمى طبيعية؟

التدخين الإلكتروني يهدد قلبك.. دراسة جديدة تكشف مخاطر ارتفاع ضغط الدم

دراسة تكشف فائدة بعض أنواع الشاي في محاربة الاكتئاب

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الجهاز المناعي يظهر دورا غير متوقع في صحة العظام

ابتكار من جامعة الشارقة منخفض التكلفة للحماية من الزلازل

اكتشاف تأثير غير متوقع للكاكاو على وظائف الدماغ

باحثون يرصدون أثر تغيّر المناخ في دم البشر

المزيد

مواضيع ذات صلة

Minimum Spanning Tree

Maximum Leaf Number

Lobster Graph

Labeled Tree

Internal Path Length

Red-Black Tree

Pseudotree

Pseudoforest

Prüfer Code

Planted Tree

Planted Planar Tree

Graph Strength