The compact-open topology is a common topology used on function spaces. Suppose  and  are topological spaces and  is the set of continuous maps from . The compact-open topology on  is generated by subsets of the following form,

{f|f(K) subset U}, " src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/Compact-OpenTopology/NumberedEquation1.gif" style="height:18px; width:156px" />

(1)

where  is compact in  and  is open in . (Hence the terminology "compact-open.") It is important to note that these sets are not closed under intersection, and do not form a topological basis. Instead, the sets  form a subbasis for the compact-open topology. That is, the open sets in the compact-open topology are the arbitrary unions of finite intersections of .

The simplest function space to compare topologies is the space of real-valued continuous functions . A sequence of functions  converges to  iff for every  containing  contains all but a finite number of the . Hence, for all  and all , there exists an  such that for all ,

(2)

For example, the sequence of functions  converges to the zero function, although each function is unbounded.

When  is a metric space, the compact-open topology is the same as the topology of compact convergence. If  is a locally compact T2-space, a fairly weak condition, then the evaluation map

(3)

defined by  is continuous. Similarly,  is continuous iff the map , given by , is continuous. Hence, the compact-open topology is the right topology to use in homotopy theory.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

بيان صادر عن العتبة العباسية المقدسة

قسم التطوير يقيم دورة تدريبية عن الهندسة النفسية لملاكاته

تضررت في الانتفاضة الشعبانية.. الكشف عن قطع تاريخية من الإيوان الذهبي لمرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

قسم الصناعات ينهي أعمال صيانة منظومة التهوية في مجمع أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

عادات يومية تدمر قلبك بصمت.. خبراء يطلقون التحذير

خبراء تغذية يكشفون "أفضل وقت لتناول الإفطار"

أطعمة تزيد فرص وفاة مرضى السرطان 60 بالمئة.. ما هي؟

اختبار ثوري جديد يكشف مبكرا عن سرطان البنكرياس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الذكور أم الإناث؟ دراسة "تنسف الشائع" بشأن التوحد

خبير يكشف عن اقتراب العلماء من فك شفرات "لغات الحيوانات" !

دراسة تدفعك لشراء ساعة ذكية "فورا".. هذا ما تقوله عن قلبك

علماء حاصلون على "نوبل": الذكاء الاصطناعي لن يستبدل الإنسان

المزيد