An -space, named after Heinz Hopf, and sometimes also called a Hopf space, is a topological space together with a continuous binary operation , such that there exists a point  with the property that the two maps  and  are both homotopic to the identity map  on , through homotopies preserving the point . The element  is called a homotopy identity.

One should note that authors do not always agree on the definition of an -space. In some texts, the maps given by  and  are required to be equal to the identity on . In others, the two maps are required to be homotopic to the identity as above, but the homotopies need not fix the element . Fortunately, we have the comforting fact that for any CW-complex, the three definitions above are equivalent.

For any -space  with homotopy identity , the fundamental group with base-point  is an Abelian group. Taking another base-point  in a path-component of  not containing  may, however, result in a non-Abelian fundamental group.

A deep theorem in homotopy theory known as the Hopf invariant one theorem (sometimes also known as Adams' theorem) states that the only -spheres that are -spaces are , , , and .

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

بيان صادر عن العتبة العباسية المقدسة

قسم التطوير يقيم دورة تدريبية عن الهندسة النفسية لملاكاته

تضررت في الانتفاضة الشعبانية.. الكشف عن قطع تاريخية من الإيوان الذهبي لمرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

قسم الصناعات ينهي أعمال صيانة منظومة التهوية في مجمع أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

عادات يومية تدمر قلبك بصمت.. خبراء يطلقون التحذير

خبراء تغذية يكشفون "أفضل وقت لتناول الإفطار"

أطعمة تزيد فرص وفاة مرضى السرطان 60 بالمئة.. ما هي؟

اختبار ثوري جديد يكشف مبكرا عن سرطان البنكرياس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الذكور أم الإناث؟ دراسة "تنسف الشائع" بشأن التوحد

خبير يكشف عن اقتراب العلماء من فك شفرات "لغات الحيوانات" !

دراسة تدفعك لشراء ساعة ذكية "فورا".. هذا ما تقوله عن قلبك

علماء حاصلون على "نوبل": الذكاء الاصطناعي لن يستبدل الإنسان

المزيد