1. x ≤ x,

2. If x ≤ y and y ≤ x then x = y,

3. If x ≤ y and y ≤ z then x ≤ z,

4. x ≤ y or y ≤ x, i.e. any two elements of N are comparable with respect to ≤.

We shall use the first three properties to define our first type of ordering relation:

Definition 1.1. Let R be a relation on A.

1. R is reflexive if 〈x,x〉 ∈ R for all x ∈ A.

2. R is antisymmetric if for all x,y ∈ A, 〈x,y〉 ∈ R and 〈y,x〉 ∈ R implies x = y.

3. R is transitive if for all x,y,z ∈ A, 〈x,y〉 ∈ R and 〈y,z〉 ∈ R implies 〈x,z〉 ∈ R.

4. R is a partial order on A, if R is reflexive, antisymmetric, and transitive.

Sometimes we will call a partial order on A just an order on A, or an ordering of A.

5. R is a linear order on A if R is a partial order, and xRy or yRx for all x,y ∈ A, i.e. if any two elements of A are comparable with respect to R.

If R is an ordering relation on A, then we usually write ≤ (or a similar symbol) for R, i.e. x ≤ y iff xRy. If ≤ is a partial order on A, then we call the pair hA, ≤i a partially ordered set, or just an ordered set. If ≤ furthermore is a linear order, then hA, ≤i is called a linearly ordered set or a chain.

For a finite partially ordered set 〈A, ≤〉 we can draw an order diagram by the following rules: If a ≤ b and a ≠b, then put b above a. b need not be directly

above a, but also may be shifted to one side or the other. If there is no element between a and b, you connect them by a line.

Example .1. 1. Let A = {0, 1,a, b,c}, and define 

by the diagram given in Fig. 1.1

Figure 1.1: The diamond

This diagram represents the following relation on A:

0 ≤ 0, 0 ≤ a, 0 ≤ b, 0 ≤ c, 0 ≤ 1, a ≤ a, a ≤ 1, b ≤ b, b ≤ 1, c ≤ c, c ≤ 1, 1 ≤ 1.

It is not hard to see that this is indeed a partial order on A.

2. Let A = {2, 3, 4, 5, 6}, and define R by the usual ≤ relation on N, i.e. aRb iff a ≤ b. Then R is a linear order on A.

3. Let us define another relation on N by

 (1.1)                    a/b iff a divides b.

To show that / is a partial order we have to show the three defining properties of a partial order relation:

Reflexive: Since every natural number is a divisor of itself, we have a/a for all a ∈ A.

Antisymmetric: If a divides b then we have either a = b or in the

usual ordering of N; similarly, if b divides a, then b = a or b
 a. Since   is not possible, a/b and b/a implies a = b.

Transitive: If a divides b and b divides c then a also divides c.

Thus, / is a partial order on N.

4. Let A = {x,y} and define ≤ on the power set P(A) by s ≤ t iff s is a subset of t

 This gives us the following relation:

∅ ≤ ∅, ∅ ≤ {x}, ∅ ≤ {y}, ∅ ≤ {x,y} = A, {x} ≤ {x}, {x} ≤ {x,y}

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد

مواضيع ذات صلة

Subset

Set Class

Set

Second Category

Proper Subset

Power Set

Matroid

Inductive Set

Independent Vertex Set

Independent Set

Graphoid

G_delta Set