المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر المرجع الالكتروني للمعلوماتية
تـشكيـل اتـجاهات المـستـهلك والعوامـل المؤثـرة عليـها
2024-11-27
النـماذج النـظريـة لاتـجاهـات المـستـهلـك
2024-11-27
{اصبروا وصابروا ورابطوا }
2024-11-27
الله لا يضيع اجر عامل
2024-11-27
ذكر الله
2024-11-27
الاختبار في ذبل الأموال والأنفس
2024-11-27


THE PONTRYAGIN MAXIMUM PRINCIPLE-CALCULUS OF VARIATIONS, HAMILTONIAN DYNAMICS  
  
429   02:45 مساءاً   date: 8-10-2016
Author : Lawrence C. Evans
Book or Source : An Introduction to Mathematical Optimal Control Theory
Page and Part : 41-45

We begin in this section with a quick introduction to some variational methods.

These ideas will later serve as motivation for the Pontryagin Maximum Principle.

Assume we are given a smooth function L : Rn × Rn → R, L = L(x, v); L is called the Lagrangian. Let T > 0, x0, x1 ∈ Rn be given.

BASIC PROBLEM OF THE CALCULUS OF VARIATIONS. Find a curve x(.) : [0, T] → Rn that minimizes the functional

(1.1)

among all functions x(.) satisfying x(0) = x0 and x(T) = x1.

Now assume x(.) solves our variational problem. The fundamental question is this: how can we characterize x(.)?

1.1 DERIVATION OF EULER–LAGRANGE EQUATIONS.

NOTATION.We write L = L(x, v), and regard the variable x as denoting position,  the variable v as denoting velocity. The partial derivatives of L are

THEOREM 1.1 (EULER–LAGRANGE EQUATIONS). Let x(.) solve the calculus of variations problem. Then x(.) solves the Euler–Lagrange differential equations:

The significance of preceding theorem is that if we can solve the Euler–Lagrange equations (E-L), then the solution of our original calculus of variations problem  (assuming it exists) will be among the solutions.

Note that (E-L) is a quasilinear system of n second–order ODE. The ith component of the system reads

Proof. 1. Select any smooth curve y[0, T] → Rn, satisfying y(0) = y(T) = 0.

Define

i(τ ) := I[x(.) + τy(.)]

for τ ∈ R and x(.) = x(.). (To simplify we omit the superscript ∗.) Notice that x(.) + τy(.) takes on the proper values at the endpoints. Hence, since x(.) is

minimizer, we have

                            i(τ ) ≥ I[x(.)] = i(0).

Consequently i(.) has a minimum at τ = 0, and so i′(0) = 0.

2. We must compute i′ (τ ). Note first that

This equality holds for all choices of y : [0, T] → Rn, with y(0) = y(T) = 0.

3. Fix any 1 ≤ j ≤ n. Choose y(.) so that

where ψ is an arbitary function. Use this choice of y(.) above:

Integrate by parts, recalling that ψ(0) = ψ(T) = 0:

This holds for all ψ : [0, T] → R, ψ(0) = ψ(T) = 0 and therefore

 

for all times 0 ≤ t ≤ T. To see this, observe that otherwise Lxj – d/dt (Lvj ) would be,  say, positive on some subinterval on I ⊆ [0, T]. Choose ψ ≡ 0 off I, ψ > 0 on I.

Then

a contradiction.

1.2 CONVERSION TO HAMILTON’S EQUATIONS.

DEFINITION. For the given curve x(.), define

                                 p(t) := ∇vL(x(t), x˙ (t))                            (0 ≤ t ≤ T).

We call p(.) the generalized momentum.

Our intention now is to rewrite the Euler–Lagrange equations as a system of first–order ODE for x(.), p(.).

IMPORTANT HYPOTHESIS: Assume that for all x, p ∈ Rn, we can solve the equation

(1.2)                               p = ∇vL(x, v)

for v in terms of x and p. That is, we suppose we can solve the identity (1.2) for

                                            v = v(x, p).

DEFINITION. Define the dynamical systems Hamiltonian H : Rn × Rn → R by the formula

                         H(x, p) = p . v(x, p) − L(x, v(x, p)),

where v is defined above.

NOTATION. The partial derivatives of H are

and we write

xH := (Hx1 , . . . ,Hxn), ∇pH := (Hp1 , . . . ,Hpn).

THEOREM 1.2 (HAMILTONIAN DYNAMICS). Let x(.) solve the EulerLagrange equations (E-L) and define p(.)as above. Then the pair (x(.), p(.)) solves Hamilton’s equations:

Furthermore, the mapping t → H(x(t), p(t)) is constant.

Proof. Recall that H(x, p) = p . v(x, p) − L(x, v(x, p)), where v = v(x, p) or,  equivalently, p = ∇vL(x, v). Then

because p = ∇vL. Now p(t) = ∇vL(x(t), x˙ (t)) if and only if x˙ (t) = v(x(t), p(t)).

Therefore (E-L) implies

A PHYSICAL EXAMPLE. We define the Lagrangian

which we interpret as the kinetic energy minus the potential energy V . Then

xL = −∇V (x), ∇vL = mv.

Therefore the Euler-Lagrange equation is

which is Newton’s law. Furthermore

                       p = ∇vL(x, v) = mv

is the momentum, and the Hamiltonian is

the sum of the kinetic and potential energies. For this example, Hamilton’s equations read

References

[B-CD] M. Bardi and I. Capuzzo-Dolcetta, Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations, Birkhauser, 1997.

[B-J] N. Barron and R. Jensen, The Pontryagin maximum principle from dynamic programming and viscosity solutions to first-order partial differential equations, Transactions AMS 298 (1986), 635–641.

[C1] F. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley-Interscience, 1983.

[C2] F. Clarke, Methods of Dynamic and Nonsmooth Optimization, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, SIAM, 1989.

[Cr] B. D. Craven, Control and Optimization, Chapman & Hall, 1995.

[E] L. C. Evans, An Introduction to Stochastic Differential Equations, lecture notes avail-able at http://math.berkeley.edu/˜ evans/SDE.course.pdf.

[F-R] W. Fleming and R. Rishel, Deterministic and Stochastic Optimal Control, Springer, 1975.

[F-S] W. Fleming and M. Soner, Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions, Springer, 1993.

[H] L. Hocking, Optimal Control: An Introduction to the Theory with Applications, OxfordUniversity Press, 1991.

[I] R. Isaacs, Differential Games: A mathematical theory with applications to warfare and pursuit, control and optimization, Wiley, 1965 (reprinted by Dover in 1999).

[K] G. Knowles, An Introduction to Applied Optimal Control, Academic Press, 1981.

[Kr] N. V. Krylov, Controlled Diffusion Processes, Springer, 1980.

[L-M] E. B. Lee and L. Markus, Foundations of Optimal Control Theory, Wiley, 1967.

[L] J. Lewin, Differential Games: Theory and methods for solving game problems with singular surfaces, Springer, 1994.

[M-S] J. Macki and A. Strauss, Introduction to Optimal Control Theory, Springer, 1982.

[O] B. K. Oksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 4th ed., Springer, 1995.

[O-W] G. Oster and E. O. Wilson, Caste and Ecology in Social Insects, Princeton UniversityPress.

[P-B-G-M] L. S. Pontryagin, V. G. Boltyanski, R. S. Gamkrelidze and E. F. Mishchenko, The Mathematical Theory of Optimal Processes, Interscience, 1962.

[T] William J. Terrell, Some fundamental control theory I: Controllability, observability,  and duality, American Math Monthly 106 (1999), 705–719.

 

 

 




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.