الانكسار عند الأسطح الكروية

نفرض أن X نقطة مضيئة على المحور الأساسي لمرآة مقعرة ABC تفصل بين وسطين معامل انكسار الضوء فيهما μ₁ و μ₂ و ليكنM  مركز تكور السطح الكروي.

فإذا فرضنا أن μ₁ <  μ₂  فان الشعاع الساقط  XA  ينكسر في الاتجاه AY^/  ، و إذا مددنا هذا الشعاع المنكسر فانه سوف يتقاطع مع محور المرآة في النقطة Y التي تمثل صورة الجسم، كما هو موضح بالشكل الاتي.

و من هذا الشكل يتضح أن

 (1)

أيضا

 (2)

و حيث أن

فإذا كانت النقطة  A  قريبة  من قطب المرآة فأن كل من زاويتي السقوط و الانكسار تكونان صغيرتين

 (3)

بالتعويض من  (1)   و  (2)   في   (3)  نحصل على

 (4)

فإذا كانت المسافة بين الجسم و الصورة و المركز عن قطب المرآة هي  r, y, x على الترتيب، فان

  (*)

بالتعويض من هذه المعادلة في المعادلة (4)

و وفقا لقاعدة الإشارات التي سبق ذكرها فان:

    (5)

و هي المعادلة العامة في حالة السطح الكرى المقعر.

أما في حالة السطح الكرى المحدب (كما بالشكل الآتي) فان

 (6)

أيضا

  (7)

و من المعادلات (3)  و (6)  و (7)   يمكننا الحصول على

 (8)

و بكتابة المعادلة  (*)  مرة أخر و لكن مع مراعاة قاعدة الإشارات في هذه الحالة

فان المعادلة (51)  تأخذ الشكل الآتي

 (9)

 (10)

و هي نفس النتيجة التي حصلنا عليها في حالة السطح الكرى المقعر.

أما إذا كانت الأشعة الساقطة متوازية كما بالشكل الآتي ( أي أن X في ∞) فان المعادلة السابقة تصبح على الصورة الآتية

 (11)

و بذلك تتجمع الأشعة المنكسرة في نقطة واحدة Z  تسمى البؤرة  و يسمى بعدها عن قطب المرآة البعد البؤري.