الجمع البياني للمتجهات

يمكننا دائماً إيجاد الإزاحة المحصلة لعدة إزاحات متتالية بالتمثيل البياني لها باستخدام مقياس رسم مناسب ، وهذا مبين بالشكل التالي ((1 في حالة إزاحتين من هذا النوع. لاحظ أن هذه الطريقة تتكون من رسم المتجهتين بنفس مقياس الرسم وبالزوايا المحددة , مع مراعاة انطباع ذيل المتجه الثاني على رأس المتجه الأول. وعندئذ تكون المحصلة هي ذلك المتجه الذي يشير من ذيل المتجه الأول إلى رأس المتجه الثاني.

1)) رسم اتجاهي يمثل رحلة قطع فيها مسافر 30 km في اتجاه الشرق ثم 10 km باتجاه الشمال.

هذه الطريقة لإيجاد المحصلة تسمى الطريقة البيانية ، ويمكن تعميمها بسهولة لإيجاد محصلة أكثر من متجهين. فمثلاً ، لنفرض أننا نريد جمع الإزاحات المتتالية الآتية: 10 km شرقاً ، 16 km جنوباً ، 14 km  شرقاً ، 6 km شمالاً وأخيراً 4 km  غرباً. لإيجاد المحصلة ترسم المتجهات الممثلة للإزاحات بالطريقة السابقة وصفها لنحصل على رسم بياني المتجهات المبين بالشكل التالي (2). وبناء على ما تقدم نجد أن الإزاحة المحصلة R تمتد من ذيل المتجه الأول إلى رأس الأخير ، وعليك أن تتأكد أنك تفهم هذا الرسم. وباستخدام المسطرة والمنقلة وأخذ مقياس الرسم المستخدم في الاعتبار ستجد أن مقدار الإزاحة المحصلة R هو 22 km  وان اتجاهها هو  26^o= θ جنوب الشرق.

2)) الجمع البياني لخمس إزاحات متتالية.

هذه النتيجة لا تعتمد على الترتيب الذي تجمع به المتجهات. حاول مثلاً ان تغير ترتيب الإزاحات في الشكل (2) ليصبح 16 km  جنوباً ثم 4 km  غرباً ثم 10 km  شرقاً ثم 6 km  شمالاً وأخيراً 14 km شرقاً وتحقق أن الإزاحة المحصلة التي تحصل عليها في هذه الحالة هي نفس ما حصلت عليه سابقاً ؟

نتيجة جمع المتجهات لا تعتمد على الترتيب الذي يجري به الجمع.

يبين الشكل (3) كيفية استخدام الطريقة البيانية لجمع إزاحتين غير متعامدتين إحداهما على الأخرى الأولى 10 km في اتجاه 45^o شرق الشمال والثانية 5 km  في الاتجاه الجنوبي. ترسم المتجهات بمقياس رسم المناسب وبالزوايا الصحيحة وعندئذ ستكون المحصلة هي المتجه الذي يشير من ذيل المتجه الأول إلى رأس الثاني.

(3)

مثال توضيحي:

اجمع الإزاحات الآتية بيانياً:

تقاس الزوايا بالنسبة لاتجاه الشرق كما هو مبين بالشكل 4)) حيث ان الزوايا تقاس عادة بهذه الطريقة.

(4)

استدلال منطقي :

يرسم رسم بياني المتجهات كما بالشكل (5) ( ستكون فكرة جيدة أن تقوم بالرسم بنفسك مستخدماً البيانات المعطاة ثم تقوم بمقارنة رسمك بالشكل 5))). سوف تبين القياسات عندئذ أن R= 49 cm  ،  82^o = θ.