المتجه الرباعي للزخم وللقوة

اولا: المتجه الرباعي للزخم.

يعرف الزخم الرباعي بالعلاقة :

     (1.1)

حيث ان V_μ السرعة الرباعية وان m₀ الكتلة الساكنة للجسيم. تكتب مركبات هذا المتجه كالآتي :

    (1.2)

نلاحظ من المعادلات اعلاه ان مركبات الزخم الاعتيادي تشبه تماما مركبات المتجه الرباعي للزخم في الافضاء ذي الابعاد الاربعة ولكن تستعمل هنا الكتلة النسبية بدلا من كتلة السكون.

المتجه الرباعي للزخم يبقى دون تغيير كما يجب ان يكون لأن :

    (1.3)

وبما أن هذه الكمية تبقى دون تغيير نكتب :

    (1.4)

ولما كان الزخم الرباعي يتحول كمتجه رباعي فيمكننا كتابة العلاقة :

     (1.5)

وهكذا تصبح لدينا معادلات التحويل الخاصة بمركبات المتجه الرباعي للزخم :

     (1.6)

المعادلات (1.2) تكتب بصورة مختصرة على النحو التالي :

    (1.7)

حيث يمثل  متجه الزخم في الفضاء الاعتيادي ومركباته p₃, p₂, p₁ اما المركبة الرابعة فهي .

من العلاقة (1.3) يكون واضحا ان الطاقة الكلية ε يمكن ان يعبر عنها بدلالة الزخم كالآتي :

    (1.8)

ومن الواضح ايضا من المعادلات (1.7) ان معادلة التحويل الخاصة بالطاقة من محور الاسناد s الى sʹ يمكن الحصول عليها من العلاقة الرابعة اي :

حيث ان : p₁=p_x.

وعلينا ان نذكر ان المتجهات الرباعية وضربها مع بعضها تبقى دون تحت تحويلات لورنس ويمكن ان تستخدم لحل مسائل كثيرة.

نفرض ان طاقة وزخم الجسيم الاول ₁, ε₁ وطاقة زخم الجسيم الثاني ₂, ε₂ كتلتا سكونهما m₀₂ ,m₀₁ على التوالي. بعد التصادم تكون طاقة وزخم الجسيم الاول ₃, ε₃ وللجسيم الثاني ₄, ε₄ وبتطبيق قانون حفظ الطاقة والزخم خلال عملية التصادم المرن من الممكن استخدام المتجهات الرباعية للزخم كالاتي :

    (1.9)

حيث ان:

ومن هذه المعادلات نكون علاقات تبقى دون تغيير تساعد في اجزاء الحسابات المتعلقة بهذه المسألة. ولتوضيح ذلك نعيد كتابة المعادلة (1.9) بالشكل:

وبتربيع طرفي هذه المعادلة يكون لدينا:

   (1.10)

لنعتبر التصادم قد حصل في محور الأسناد s حيث يلاحظ فيه الجسيم الثاني في حالة سكون قبل التصادم, فيصبح لدينا الان:

وحاصل الضرب العددي الممثل بالحدود المبينة في المعادلة ( (1.10يساوي:

   (1.11)

حيث ان θ زاوية التشتت للجسيم الساقط (الاول) بعد التصادم وبتعويض هذه العلاقات بالمعادلة ((1.10 ينتج:

    (1.12)

والعلاقة الاخيرة تعطي زاوية التشتت بدلالة طاقة الجسمين في حالة التصادم.

وبإتباع الطريقة نفسها نستطيع ان نكتب علاقة مشابهة فيما يتعلق بزاوية التشتت φ للجسيم الثاني.

  (1.13)

ثانيا : المتجه الرباعي للقوة.

لندخل متجها رباعيا جديدا F_μ يسمى بالقوة الرباعية او المتجه الرباعي للقوة. عندئذ يكون التعميم النسبي لقانون نيوتن الثاني:

    (1.14)

ويمكن كتابة هذه العلاقة بالشكل التالي:

   (1.15)

حيث ان  سرعة الجسيم، m الكتلة النسبية. اذن المركبات الثلاثة الاولى للقوة الرباعية تتسب الى القوة الاعتيادي f وتكتب :

وكذلك بالنسبة للمركبة الرابعة لدينا :

   (1.16)

اذن تنسب F₄ الى المعدل الزمني الذي تتغير فيه كتلة الجسيم او الكتلة والطاقة. والان بما ان المتجه الرباعي للزخم يبقى دون تغيير اي ان :

يحصل ان

   (1.17)

ويمكن تفسير ذلك كصيغة تعامد بين p_μ و F_μ وعند كتابة المعادلة (1.17) بصيغة المركبات وجعل اشارة المقدار P₄F₄ سالبة ينتج :

وهذه تكافئ :

   (1.18)

اذن معدل التغير الزمني للكمية ε =mc² هو المعدل الذي تنجز فيه القوة الاعتيادية  شغلا على الجسيم. وبما ان القوة  الرباعية تتحول كمتجه رباعي يمكننا كتابة معادلات التحويل الخاصة بالقوة.

     (1.19)

ونوضح الان كيفية استخدام المعادلة الرابعة من (1.19) للحصول على معادلة تحويل الطاقة.