المجال الكهربي بسبب توزيعات مختلفة للشحنة: قانون جاوس

إن بإمكاننا أن نحصل على قدر كبير في مسألة ما بفحص تخطيط المجال الكهربي المتصل بها اتصالاً وثيقاً. وعلينا تذكر التفسيرات التالية:

1ـ تبدأ خطوط المجال الكهربي عند الشحنات الموجبة وتنتهي عند الشحنات السالبة.

2- يكون المجال الكهربي أقوى ما يمكن عندما تكون خطوط المجال عند أقصى كثافة لها.

3- تكون القوة المؤثرة على شحنة موجبة موضوعة عند نقطة في المجال متجهة بامتداد المجال عند تلك النقطة. أما القوة المؤثرة على شحنة سالبة فتكون متجهة في عكس اتجاه المجال .

ويمكننا من حيث المبدأ تعيين اتجاه المجال الكهربي الناشئ عن الشحنات المبينة في الشكل (1) عند أي عدد من نقط الفضاء المحيط بها. وقد يكون هذا العمل شاقاً من الناحية العملية ويستحسن القيام به بمساعدة الكومبيوتر. وإذا كانت النقط قريبة من بعضها البعض بدرجة كافية، فإننا نستطيع ان نرسم مخططاً لاتجاه المجال من شأنه أن يفيدنا بيانياً عن المجال الكهربي في الفضاء المحيط بالشحنات؛ والشكل 2)) يعبر عن تخطيط مثل هذا المجال بالنسبة لشحنتين متضادتين ومتساويتين. وعليك أن تفحص عدة نقطة في الشكل حتى تقنع نفسك أن شحنة موجبة موضوعة هناك سوف تتأثر بقوة في الاتجاه الذي تشير إليه خطوط القوة. ولكي تدرك كيفية عمل هذا، اعتبر النقطة A. إذا وضعت شحنة اختبار موجبة عند A فإنها ستجد تنافراً مع الشحنة الموجبة وتجاذباً مع الشحنة السالبة . وستكون قوة التجاذب مساوية لقوة التنافر وذلك لأن شحنة الاختبار قريبة من الشحنة الموجبة بنفس درجة قربها من الشحنة السالبة. ومحصلة هاتين القوتين تكون مماسة لخط القوة عند A.

وخريطة المجال القائم بجوار شحنتين متساويتين ومتشابهتين يوضحها الشكل ((3. ولابد أن تكون قادراً على إثبات أن المجال يكون صفراً عند نقطة منتصف المسافة بين الشحنتين.

الشكل (2)        

الشكل (3)

وفي كثير من الحالات ذات الأهمية تكون الشحنة موزعة على أشكال لها هندسة بسيطة مثل الكرات والخطوط أو المستويات. وهناك وسيلة قوية للغاية يمكن من خلالها تبسيط حساب شدة المجال الكهربي في مثل هذه الحالات وتعرف باسم قانون جاوس. ولكي نفسهم المغزى الكامن وراء هذا القانون، دعنا نعتبر سطحاً مغلقاً وموجوداً في منطقة المجال الكهربي. وليس من الضروري أن يكون هذا السطح . . سطحاً مادياً لجسم حقيقي، إذ قد يكون أي سطح افتراضي (ويطلق عليه سطح جاوسي) تختاره طالما كان يحيط بحجم ما من الفضاء. ولتفكر الآن في تقسيم هذا السطح إلى عناصر مساحية  صغيرة AΔ، ، بحيث يكون لكل عنصر اتجاه يمكن وصفه بدلالة العمود المقام على AΔ، n ، الذي يشير إلى خارج المنطقة التي يحيط بها السطح. ويكون لخطوط المجال الكهربي التي تمر خلال AΔ مركبة هي E_┴ = E cos θ  موازية للمتجه n، حيث  θ هي الزاوية المحصورة بين E و n (الشكل 4))). سنقوم الآن بضرب كل عنصر AΔ في E_┴ لنحصل على كمية نطلق عليها التدفق الكهربي او الفيض الكهربي (AΔ E_┴) المار خلال AΔ. لاحظ ان E_┴ (ومن ثم التدفق) قد يكون موجباً او سالباً اعتماداً على قيمة cos θ كما يوضح ذلك الشكل(5). وحيث أن شدة المجال الكهربي تمثل بكثافة خطوط المجال، فقد نعتبر التدفق ( الفيض) بمثابة عدد خطوط المجدال المرة خلال مستوى AΔ.

 الشكل ((4

 الشكل (5)

يوضح الشكل (6) مثالاً لسطح جاوسي مقسم إلى عناصر مساحية صغيرة ويقع في منطقة بها مجال كهربي منتظم تشير إليه خطوط المجال. لاحظ أن التدفق خلال بعض عناصر المساحة سالب، بينما يكون موجباً خلال عناصر أخرى ، بل إنه يكون في بعض الحالات صفراً حين يتعامد كل من n و E. والآن، ما هي النتيجة التي نصل إليها عندما نجمع كل إسهامات الفيض هذه حتى تغطي السطح الجاوسي بأسره؟ إن قانون جاوس هو الذي يتولى الإجابة:

إن مجموع كل إسهامات التدفق الكهربي المار من سطح مغلق يتناسب مع القيمة الإجمالية للشحنة المحتواة داخل ذلك السطح.

الشكل (6)

ففي حالة الشكل (6)، لا يحتوي السطح على أية شحنة ولذا فإن التدفق الكلي خلال السطح يكون صفراً؛ بمعنى أنه على قدر ما يغادر المنطقة المحصورة من خطوط للمجال ، على قدر ما يدخل إليها.

وحيث أن الشحنات هي منبع ( أو منتهى) خطوط المجال الكهربي، فإن الطريقة الوحيدة التي من خلالها يتكون تدفق خالص للمجال الكهربي خلال سطح مغلق، هي ان يكون بداخل ذلك السطح شحنة خالصة.

والتعبير الرياضي الدقيق لقانون جاوس هو:

(1)