مثال (16) : 

تنتج منشأة عشري منتج وحيد ويتم بيع الوحدة بسعر 70 جنيه في حين يبلغ متوسط التكلفة المتغيرة للوحدة 50 جنيه، والتكاليف الثابتة السنوية 80000 جنيه، وبفرض أن مبيعات المنشأة تخضع للتوزيع الاحتمالي الطبيعي، وأنه أمكن احتساب حجم المبيعات المتوقعة في المتوسط (س) على أساس 4200 وحدة بانحراف معياري (ع) 500 وحدة.

والمطلوب :

1. تحديد احتمال أن يكون حجم المبيعات أكبر من حجم التعادل.

2. تحديد صافي الربح المتوقع والانحراف المعياري المرتبط به.

3. تحديد احتمال تحقيق التعادل على الأقل باستخدام الربح المتوقع والانحراف المعياري المرتبط به.

4. تحديد احتمال تحقيق خسارة.

5. تحديد احتمال تحقيق 3000 جنيه أرباح فأكثر.

6. تحديد حجم المبيعات المتوقعة باحتمال 68%.

7. تحديد احتمال أن يزيد حجم المبيعات المتوقعة عن 4200 وحدة.

حل مثال (16) :

1. نبدأ بتحديد هامش ربح الوحدة ثم حجم التعادل ثم تحديد احتمال أن يكون حجم المبيعات أكبر من حجم التعادل كما يلي:

هامش ربح الوحدة = سعر بيع الوحدة -  م.ت. متغيرة للوحدة

                       = 70  ــ 50  = 20 جنيه 

حجم التعادل = ت.ث. متوقعة ÷ هامش ربح الوحدة

                = 80000 ÷ 20   = 4000 وحدة . 

وعن طريق تحويل التوزيع الاحتمالي إلى توزيع معيارى طبيعي بمتوسط = صفر، ع س = 1 يتم استخدام العلاقة التالية لتحويل القيم (س) إلى القيم المعيارية (Z) المناظرة لها كما يلي:

وباستخدام جداول القيم المعيارية يتم تحديد المساحة على يسار 0.4  ونجدها = 0.34 تقريباً ، ويكون احتمال أن تكون المبيعات أكبر من حجم التعادل = 1 - 0.34 = 0.66 = %66 تقريبا.

2. تحديد صافى الربح المتوقع والانحراف المعياري المرتبط به :

3. تحديد احتمال تحقيق التعادل على الأقل باستخدام الربح المتوقع والانحراف المعياري المرتبط به:

عن طريق تحويل التوزيع الاحتمالي إلى توزيع معيارى طبيعي بمتوسط أرباح = صفر، وانحراف معياري لها 1 يتم استخدام العلاقة التالية لتحويل القيم (س) إلى القيم المعيارية (Z) المناظرة لها كما يلي:

وباستخدام جداول القيم المعيارية يتم تحديد المساحة على يسار = 0.4 ونجدها 0.34 تقريبا، ويكون احتمال أن تكون المبيعات أكبر من حجم التعادل وتحقق المنشأة أرباح = 1 - 0.34= 0.66 = 66 ،تقريبا ، وهو نفس الاحتمال السابق احتسابه في المطلوب الأول.

4. تحديد احتمال تحقيق خسارة :

ونقصد به احتمال عدم وصول هذه المنشأة لحجم التعادل، ويتم احتسابه على النحو التالي:

يتم استخدام العلاقة التالية لتحويل القيم (س) إلى القيم المعيارية (Z) المناظرة لها كما يلي: 

وباستخدام جداول القيم المعيارية يتم تحديد المساحة علي يسار = 0.4 ونجدها 0.34 تقريبا ويمثل مباشرة احتمال أن تكون المبيعات أقل من حجم التعادل أي احتمال تحقق خسائر = 34% تقريبا، وهو متمم الاحتمال السابق احتسابه من قبل. 

5. تحديد احتمال تحقيق 3000 جنيه أرباح فأكثر :

يتم استخدام العلاقة التالية لتحويل القيم (س) إلى القيم المعيارية (Z) المناظرة لها كما يلي:

و باستخدام جداول القيم المعيارية يتم تحديد المساحة على يسار = 0.1 ونجدها 0.46 تقريبا، ويكون احتمال تحقيق 3000 جنيه أرباح فأكثر = 1 - 0.46 = 0.54  = %54 تقريبا.

6. تحديد حجم المبيعات المتوقعة باحتمال 68

طالما أن حجم المبيعات المتوقعة 4200 وحدة والانحراف المعياري لها 500 وحدة فإنه يمكن تحديد حجم المبيعات المتوقعة باحتمال 68% بحيث تتراوح بين المتوسط + أوــ انحراف معياري واحد أي أن حجم المبيعات المتوقعة باحتمال 68% سوف يتراوح بين (4200+500) 4700 وحدة ، وبين (4200-500) 3700 وحدة.

وسوف تتراوح الأرباح في هذه الحالة بين ربح (4000 + 10000) 14000 جنيه ، وبين خسارة (4000-10000) = 6000 جنيه. 

7. تحديد احتمال أن يزيد حجم المبيعات المتوقعة عن 4200 وحدة.

أما فيما يتعلق بتحديد احتمال أن تزيد أو تقل المبيعات المتوقعة عن 4200 وحدة فهو 50% لأن هذا الرقم يتمثل في متوسط القيمة المتوقعة للمبيعات.

ويعتبر التحليل السابق بمثابة مرشد لمتخذي القرارات بصدد تحليل العلاقة بين التكلفة والحجم والربح عند المفاضلة بين أكثر من منتج حيث يجعل هذا التحليل الاحتمالي متخذ القرار في موقف يجعله قادراً على تحديد درجة المخاطرة التي ينطوى عليها كل بديل من البدائل المتاحة. ويتوقف اختيار متخذ القرار لأحد تلك البدائل على درجة تفضيله للمخاطرة ومدى قدرته على تحملها.

وقد افترضنا خلال المثال السابق مناقشة كيفية الاستعانة بالتوزيعات الاحتمالية في تحليل العلاقة بين التكلفة والحجم والربح في ظل معرفة تامة لكل من سعر البيع والتكلفة المتغيرة والتكاليف الثابتة وأن المتغير الاحتمالي الوحيد تمثل في حجم المبيعات المتوقعة، ويمكن أيضاً استخدام نفس التحليل السابق في ظل افتراض أن كافة المتغيرات احتمالية وأن التغيرات العشوائية فى أي منها قد يرتبط أو لا يرتبط بالتغيرات العشوائية في باقي المتغيرات، ويمكن في هذه الحالة احتساب القيم المتوقعة والانحرافات المعيارية لتلك المتغيرات على النحو الموضح من قبل. وبطبيعة الحال يمكن معالجة أثر المخاطرة على العلاقة بين التكلفة والحجم والربح باستخدام أسلوب المحاكاة أو مدخل تحليل الحساسية وكلاهما يحتوي على عدة سناريوهات بديلة لكافة المتغيرات المرتبطة بالموقف القراري يمكن أن تسود مستقبلاً.