المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
غزوة الحديبية والهدنة بين النبي وقريش
2024-11-01
بعد الحديبية افتروا على النبي « صلى الله عليه وآله » أنه سحر
2024-11-01
المستغفرون بالاسحار
2024-11-01
المرابطة في انتظار الفرج
2024-11-01
النضوج الجنسي للماشية sexual maturity
2024-11-01
المخرجون من ديارهم في سبيل الله
2024-11-01


Boolean Model  
  
1275   03:44 مساءً   date: 13-5-2022
Author : Hanisch, K. H
Book or Source : "On Classes of Random Sets and Point Process Models." Serdica Bulgariacae Mathematicae Publicationes 7
Page and Part : ...


Read More
Date: 8-5-2022 1466
Date: 4-3-2022 1642
Date: 18-3-2022 1970

Boolean Model

In most modern literature, a Boolean model is a probabilistic model of continuum percolation theory characterized by the existence of a stationary point process X and a random variable rho which independently determine the centers and the random radii of a collection of closed balls in R^d for some d.

In this case, the model is said to be driven by X.

Worth noting is that the most intuitive ideas about constructing a feasible model using X and rho often lead to unexpected and undesirable results (Meester and Roy 1996). For that reason, some more sophisticated machinery and quite a bit of care is needed to translate from the language of X and rho into a reasonable model of continuum percolation. The formal construction is as follows.

Let X be a stationary point process as discussed above and suppose that X is defined on a probability space (Omega_1,F_1,P_1). Next, define the space Omega_2 to be the product space

 Omega_2=product_(n in N)product_(z in Z^d)[0,infty)

(1)

and define associated to Omega_2 the usual product sigma-algebra and product measure P_2 where here, all the marginal probabilities are given by some probability measure mu on [0,infty). Finally, define Omega=Omega_1×Omega_2, equip Omega with the product measure P=P_1 square P_2 and usual product sigma-algebra. Under this construction, a Boolean model is a measurable mapping from Omega into N×Omega_2 defined by

 (omega_1,omega_2)|->(X(omega_1),omega_2)

(2)

where here, N denotes the set of all counting measures on the sigma-algebra B^d of Borel sets in R^d which assign finite measure to all bounded Borel sets and which assign values of at most 1 to points x in X.

One then transitions to percolation by first defining the collection of so-called binary cubes of order n

 K(n,z)=product_(i=1)^d(z_i2^(-n),(z_i+1)2^(-n)]

(3)

for all n in Z^+z in Z^d, and by noting that each point x in X is contained in a unique binary cube K(n,z(n,x)) of order n. Moreover, for each x in X, there is a unique smallest number n_0=n_0(x) such that K(n_0,z(n_0,x)) contains no other points of X P_1-almost surely. This fact allows one to define the radius rho_x of the ball centered at x to be

 rho_x=omega_2(n_0,z(n_0,x))

(4)

where omega_2(n,z) is the notation used to denote an element omega_2 in Omega_2. Using this construction, one gets a collection of overlapping d-dimensional closed spheres whose radii are independent of the point process X and for which different points have balls with independent and identically-distributed radii.

It is not uncommon for a general Boolean model constructed in this way to be denoted (X,mu) or (X,rho), interchangeably. In the particular instance that X is a Poisson process with density lambda, the measure P is sometimes written P_lambda=P_((lambda,rho)) while the probability of an event A is then written P(A) or P{A} interchangeably.

In Boolean models, the space R^d is partitioned into two regions, namely the occupied region-the subset of R^d covered by at least one ball, denoted C-and its complement, the vacant region. These two regions are similar in that both consist of connected components (the occupied components and the vacant components, respectively) and the notation W(A) is used to denote the union of all occupied components having non-empty intersection with a subset A subset R^d. For A={0}, the notation W=W({0}) is used, and in the event of vacancy, the same notation is used throughout with V instead of W. Two points x,y in X which are in the same occupied component are said to be connected in the occupied region, sometimes denoted

 x-->^oy.

(5)

Connectedness in the vacant region is defined analogously and denoted

 x-->^vy.

(6)

If for some A subset R^d x and y are in the same occupied, respectively vacant, component of C intersection A, respectively of C^c intersection A, the notation x-->^oy in A, respectively x-->^vy in A is used.

BooleanModelTermExample

The above figure illustrates a realization of a Boolean model, illustrating some of the terminology related to thereto. In this figure, the shaded region is C while the darker shaded region is W subset C. Note that V=V({0}) is empty due to the fact that W is non-empty. Moreover, the path joining x in C^c intersection A and y in C^c intersection A lies entirely in C^c intersection A; this indicates that x,y are in the same vacant component of C^c intersection A, whereby it follows that x-->^vy in A.

Historically, the term Boolean model was also used to refer to what's now known as the Boolean-Poisson model (Hanisch 1981).


REFERENCES

Hanisch, K. H. "On Classes of Random Sets and Point Process Models." Serdica Bulgariacae Mathematicae Publicationes 7, 160-166, 1981.

Meester, R. and Roy, R. Continuum Percolation. New York: Cambridge University Press, 2008.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.