نظرية القيم الوسطى : 

THE INTERMEDIATE – VALUE THEOREN

إذا كانت لدينا دالة مستمرة على طول الفترة . [a,b] ، وإذا وجد عدد حقيقي v محصور في الفترة بحيث إن كلا من . ، فإنه يوجد عدد حقيقي c في الفترة المغلقة [a,b]. بحيث إن : f(c) = v يمكن توضيح النظرية في التمثيل التالي:

شكل (1-1)

(شكل 2-1)

مثال (1) : بين ان المننحى الخالص بالدالة التكعيبية x₃ + x₂ – 4 = 0 في الفترة (1.2).

الحل:

يتضح أن منحنى الدالة التكعيبية f(x) = x₃ + x₂ – 4 كما يلي:

شكل (3-1)

يتضح من الشكل أن :

وهذا ما يؤكد أن المعادلة x³ + x² – 4 = 0 تقبل على الأقل جذر في الفترة (1,2). ويتأكدك ذلك من أن

، وأن وهو ما يعني أن ، وحسب النظرية فإنه يوجد x₁ بحيث إن f(x₁) = 0.

مثال (2) : بين المجال الذي يكون فيه منحنى الدالة f(x) = x3 – 9x سالباً وموجباً.

الحل:

تعريف  : نسمي متوسط التغاير (average rste of vhange) للفترة [a,b] الكق

المقدار الكمي الذي يعبر عنه بالمعادلة : وعندما يكون طول الفترة h قصيراً جداً يمكن التعبير عن المقدار بالمعادلة : . ويتم التعبير عنها بيانياً كما يلي:

شكل (4-1)

يعبر عن مقدار التغاير بين المتغيرين بحاصل قسمة بين المقدار  Δx والمقدار Δy. وذلك :

ويعبر عن مقدار التغاير بيانياً كما يلي:

شكل (5-1)

مثال (1) : لتكن لدينا الدالة التربيعية :

أوجد مقدار التغاير بين الفاصلتين : t =1 و t = 3

الحل: ببساطة يمكن حساب مقدار التغاير الذي يغبر عن السرعة والمعطى بالعلاقة التالية:

ملاحظة : يمكن التعبير عن مقدار التغاير في الفترات الصغيرة بيانياً كما يلي:

شكل (6-1)

يسمى المقدار . في حالة وجوده بنسبة التغاير للدالة f.

مثال(2) : لتكن لدينا الدالة التربيعية السابقة :

أوجد مقدار نسبة التغاير للدالة عند الفاصلة t = 3.

الحل:

بحسابات بسيطة يمكن التعبير عن نسبة التغاير عند الفاصلة  t =3 كما يلي:

مثال(3) : لتكن لدينا  الدالة : f(x) = 1/(x-1).

أوجد متوسط التغاير للدالة ف الفترة المغلقة [2,5]؟

الحل:

باستخدام التعريف يحصل لدينا :

مثال (4) : لتكن لدينا : f(x) = x² – 3x

أوجد متوسط التغاير للدالة في الفترة المغلقة [0,2]؟ ثم نسبة التغاير عند x = 1.

الحل:

باستخدام التعريف الخاص بمتوسط التغاير للدالة في الفترة المغلقة [0,2] يحصل لدينا:

واما نسبة التغاير عند x =1 فهي :

مثال (5) : لتكن لدينا الدالة : 

أوجد نسبة التغاير للدالة عند x؟

الحل:

تحسب نسبة التغاير عند x كما يلي: