المماسات : TANGENTS

إن مماس مستقيم (T) للدائرة في المستوى يكون دائماً في نقطة واحدة (P) ، ولا يمكن أن يكون في نفس الوقت مماس للدائرة ويقطعها في نقطة ، ولتوضيح الفكرة لاحظ الشكل التالي:

شكل (1-1): يوضح مماس المستقيم (T) للدائرة في النقطة (p).

اما في المنحنيات ذات الاتجاه الواحد الأخرى، فيمكن أن نجد أن المستقيم (T₁) يقطع أو يمس المنحنى في أكثر من نقطة ، وأيضا ًنجد أن المستقيم (S) لا يعتبر أبدا ً مماساً للمنحنى ، وإنما يقطع المنحنى فقط، في حين أن المستقيم (T₂) يعتبر مماساً ويقطع المنحنى ، ولتوضيح الفكرة لاحظ الشكل التالي:

شكل (2-1) : يوضح مستقيمات ماسة T₁ ، وماسة وقاطعة T₂ ، وأخرى غير ماسة S.

وفي النقطة الواحدة لا نجد أكثر من مماس واحد لأي منحنى مستقر الاتجاه في أي نقطة ، وهو ما يوضحه الشكل :

شكل (3-1) : يوضح أن أي منحنى لا يقبل أكثر من مماس واحد في النقطة الواحدة

إن أي منحنى لأي دالة إن قبل أكثر من مماس في النقطة الواحدة فإن المنحنى يقبل تغير اتجاه عند هذه النقطة ، وهو ما يوضحه الشكل التالي:

شكل (4-1) يوضح تغير المنحنى عند النقطة التي يقبل عندها أكثر من مماس

أما نسبة التغير للاتجاه (Rater Of  Change)، فإن تجاوزت نقطة الانعطاف فيصبح للمنحنى في هذه النقطة أكثر من مماس، والتي هي مسألة يمكن برهنتها بسهولة. ويمكن اشتقاق معادلة تغير الاتجاه التالية:

مثال (1) : أوجد مقدار التغيير للاتجاه بين فاصلة النقطة المعلومة a والفاصلة المتغيرة x للدالة : y = f(x) = x2

الحل :

باعتبار أن قيمة a ≺ x (وهو نفس الشيء عندما يكون x ≺ a)  فإن نسبة التغيير للاتجاه rax يمكن حسابه من خلال المعادلة الرياضية التالية :

إن مقدار هذا التغيير يمكن ملاحظته من خلال مقدار طول الفترة [a, x] ، كما في الشكل البياني التالي:

شكل (5-1) : يوضح تغيير الاتجاه بدلالة طول الفترة المعتمدة [a,x] للدالة f(x)=x2

وإن استهدفنا حساب مقدار التغير خلال الفترة dom (f) التي تتحرك فيهما منحنى الدالة بين النقطتين يمكن حسابه وفق المعادلة :

يمكن توضيح مقدار هذه النسبة في الشكل التالي:

شكل (6-1) يوضح مقدار تغيير نسبة الاتجاه وفق الفترة المستهدفة.

نعرف الغاية أو النهاية للدالة f(x) عند القيمة المحددة x⁰ أو غير المحددة، إنها القيم النهائية التي توصل إليها قيمة الدالة عندما تصل قيمة المتغير من النهاية المستهدفة وفي جوارها (من اليمين ، أو الشمال).

مثال (2) : ندرس نهاية الدالة عند النقطة الحرجة x⁰ = 2 .

F(x) = 1/(x-2)

يتضح من قيمة الدالة f(x) ان قيمة المقام تنعدم عندما تأخذ قيمة x_o = 2 وعليه تمتد قيمة الدالة f(x) إلى قيم المالانهاية من الطرفين حسب اقتراب قيمة x من قيمة x_o من الطرفين اليمين والشمال (اليسار).

مثال (3) : دراسة نهاية الدالة f(x) عندما تكون قيمة x تؤول إلى القيمة             x₀ = a =1 ، علما أن :

                                                F(x) = x²

الحل :

لاحظ أن قيمة التغير بين قيم الدالة f(x) إلى قيمة f(a) وبين التغير للمتغير x حتى قيمة a ، فإن :

لاحظ أنه عندما تأخذ قيمة ، فإن قيمة التغيير تأخذ قيمة : x+1 ، والشكل التالي يوضح ذلك :

شكل (7-1) : يوضح قيمة تغيير الدالة من قيمة حسبما تقترب قيمة المتغير