المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
غزوة الحديبية والهدنة بين النبي وقريش
2024-11-01
بعد الحديبية افتروا على النبي « صلى الله عليه وآله » أنه سحر
2024-11-01
المستغفرون بالاسحار
2024-11-01
المرابطة في انتظار الفرج
2024-11-01
النضوج الجنسي للماشية sexual maturity
2024-11-01
المخرجون من ديارهم في سبيل الله
2024-11-01

أمـثلة عـمليـة عـلى الاستـصنـاع والاستـصـناع المـوازي
2023-08-06
ملاحظة العالم ناصر خسرو لظاهرة المد والجزر
2023-07-06
الحكم الصادر في الدفع بعدم توجه الخصومة
12/9/2022
THE DIRAC PICTURE
28-3-2021
التحميد ـ بحث روائي
25-10-2016
محمد بن علي بن معمر الصبيحي
28-8-2016

Hopf Map  
  
1994   03:29 مساءً   date: 13-5-2021
Author : المرجع الالكتروني للمعلوماتيه
Book or Source : www.almerja.com
Page and Part : ...


Read More
Date: 7-6-2021 3423
Date: 17-6-2021 3250
Date: 20-6-2021 1984

Hopf Map

The first example discovered of a map from a higher-dimensional sphere to a lower-dimensional sphere which is not null-homotopic. Its discovery was a shock to the mathematical community, since it was believed at the time that all such maps were null-homotopic, by analogy with homology groups.

The Hopf map f:S^3->S^2 arises in many contexts, and can be generalized to a map S^7->S^4. For any point p in the sphere, its preimage f^(-1)(p) is a circle S^1 in S^3. There are several descriptions of the Hopf map, also called the Hopf fibration.

As a submanifold of R^4, the 3-sphere is

 S^3={(X_1,X_2,X_3,X_4):X_1^2+X_2^2+X_3^2+X_4^2=1},

(1)

and the 2-sphere is a submanifold of R^3,

 S^2={(x_1,x_2,x_3):x_1^2+x_2^2+x_3^2=1}.

(2)

The Hopf map takes points (X_1X_2X_3X_4) on a 3-sphere to points on a 2-sphere (x_1x_2x_3)

x_1 = 2(X_1X_2+X_3X_4)

(3)

x_2 = 2(X_1X_4-X_2X_3)

(4)

x_3 = (X_1^2+X_3^2)-(X_2^2+X_4^2).

(5)

Every point on the 2-sphere corresponds to a circle called the Hopf circle on the 3-sphere.

HopfMap

By stereographic projection, the 3-sphere can be mapped to R^3, where the point at infinity corresponds to the north pole. As a map, from R^3, the Hopf map can be pretty complicated. The diagram above shows some of the preimages f^(-1)(p), called Hopf circles. The straight red line is the circle through infinity.

By associating R^4 with C^2, the map is given by f(z,w)=z/w, which gives the map to the Riemann sphere.

The Hopf fibration is a fibration

 S^1->S^3->S^2,

(6)

and is in fact a principal bundle. The associated vector bundle

 L=S^3×C/U(1),

(7)

where

 ((z,w),v)∼((e^(it)z,e^(it)w),e^(-it)v)

(8)

is a complex line bundle on S^2. In fact, the set of line bundles on the sphere forms a group under vector bundle tensor product, and the bundle L generates all of them. That is, every line bundle on the sphere is L^( tensor k) for some k.

The sphere S^3 is the Lie group of unit quaternions, and can be identified with the special unitary group SU(2), which is the simply connected double cover of SO(3). The Hopf bundle is the quotient map S^2=SU(2)/U(1).




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.