تاريخ الرياضيات
الاعداد و نظريتها
تاريخ التحليل
تار يخ الجبر
الهندسة و التبلوجي
الرياضيات في الحضارات المختلفة
العربية
اليونانية
البابلية
الصينية
المايا
المصرية
الهندية
الرياضيات المتقطعة
المنطق
اسس الرياضيات
فلسفة الرياضيات
مواضيع عامة في المنطق
الجبر
الجبر الخطي
الجبر المجرد
الجبر البولياني
مواضيع عامة في الجبر
الضبابية
نظرية المجموعات
نظرية الزمر
نظرية الحلقات والحقول
نظرية الاعداد
نظرية الفئات
حساب المتجهات
المتتاليات-المتسلسلات
المصفوفات و نظريتها
المثلثات
الهندسة
الهندسة المستوية
الهندسة غير المستوية
مواضيع عامة في الهندسة
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية و التكاملية
معادلات تفاضلية
معادلات تكاملية
مواضيع عامة في المعادلات
التحليل
التحليل العددي
التحليل العقدي
التحليل الدالي
مواضيع عامة في التحليل
التحليل الحقيقي
التبلوجيا
نظرية الالعاب
الاحتمالات و الاحصاء
نظرية التحكم
بحوث العمليات
نظرية الكم
الشفرات
الرياضيات التطبيقية
نظريات ومبرهنات
علماء الرياضيات
500AD
500-1499
1000to1499
1500to1599
1600to1649
1650to1699
1700to1749
1750to1779
1780to1799
1800to1819
1820to1829
1830to1839
1840to1849
1850to1859
1860to1864
1865to1869
1870to1874
1875to1879
1880to1884
1885to1889
1890to1894
1895to1899
1900to1904
1905to1909
1910to1914
1915to1919
1920to1924
1925to1929
1930to1939
1940to the present
علماء الرياضيات
الرياضيات في العلوم الاخرى
بحوث و اطاريح جامعية
هل تعلم
طرائق التدريس
الرياضيات العامة
نظرية البيان
Landau-Ramanujan Constant
المؤلف:
Berndt, B. C
المصدر:
Ramanujan,s Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag
الجزء والصفحة:
...
27-12-2020
1199
Landau-Ramanujan Constant
Let denote the number of positive integers not exceeding
which can be expressed as a sum of two squares (i.e., those
such that the sum of squares function
). For example, the first few positive integers that can be expressed as a sum of squares are
![]() |
![]() |
![]() |
(1) |
![]() |
![]() |
![]() |
(2) |
![]() |
![]() |
![]() |
(3) |
![]() |
![]() |
![]() |
(4) |
![]() |
![]() |
![]() |
(5) |
(OEIS A001481), so ,
,
,
,
, and so on. Then
![]() |
(6) |
as proved by Landau (1908), where is a constant. Ramanujan independently stated the theorem in the slightly different form that the number of numbers between
and
which are either squares of sums of two squares is
![]() |
(7) |
where and
is very small compared with the previous integral (Berndt and Rankin 1995, p. 24; Hardy 1999, p. 8; Moree and Cazaran 1999).
Note that for ,
iff
is not divisible by a prime power
with
and
odd.
The constant has numerical value
![]() |
(8) |
(OEIS A064533). However, the convergence to the constant , known as the Landau-Ramanujan constant and sometimes also denoted
, is very slow. The following table summarizes the values of the left side of equation (7) for the first few powers of 10, where the sequence of
is (OEIS A164775).
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
7 | 1.062199 |
![]() |
43 | 0.922765 |
![]() |
330 | 0.867326 |
![]() |
2749 | 0.834281 |
![]() |
24028 | 0.815287 |
![]() |
216341 | 0.804123 |
![]() |
1985459 | 0.797109 |
![]() |
18457847 | 0.792198 |
![]() |
173229058 | 0.788587 |
![]() |
1637624156 | 0.785818 |
An exact formula for the constant is given by
![]() |
(9) |
(Landau 1908; Le Lionnais 1983, p. 31; Berndt 1994; Hardy 1999; Moree and Cazaran 1999), and an equivalent formula is given by
![]() |
(10) |
Flajolet and Vardi (1996) give a beautiful formula with fast convergence
![]() |
(11) |
where is the Dirichlet beta function.
Another closed form is
![]() |
(12) |
where is the Kronecker delta and
is the sum of squares Function.
W. Gosper used the related formula
![]() |
(13) |
where
![]() |
(14) |
where is a Bernoulli number and
is a polygamma function (Finch 2003).
Landau also proved the even stronger fact
![]() |
(15) |
where
![]() |
![]() |
![]() |
(16) |
![]() |
![]() |
![]() |
(17) |
(OEIS A085990), e is the base of the natural logarithm, is the Euler-Mascheroni constant, and
is the lemniscate constant.
Landau's method of proof can be extended to show that
![]() |
(18) |
has an asymptotic series
![]() |
(19) |
where can be arbitrarily large and the
are constants with
(Moree and Cazaran 1999).
REFERENCES:
Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 60-66, 1994.
Berndt, B. C. and Rankin, R. A. Ramanujan: Letters and Commentary. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 25, 47, and 49, 1995.
Finch, S. R. "Landau-Ramanujan Constant." §2.3 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 98-104, 2003.
Flajolet, P. and Vardi, I. "Zeta Function Expansions of Classical Constants." Unpublished manuscript. 1996. https://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.
Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, pp. 9-10, 55, and 60-64, 1999.
Landau, E. "Über die Einteilung der positiven ganzen Zahlen in vier Klassen nach der Mindeszahl der zu ihrer additiven Zusammensetzung erforderlichen Quadrate." Arch. Math. Phys. 13, 305-312, 1908.
Landau, E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Bd. II, 2nd ed. New York: Chelsea, pp. 641-669, 1953.
Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, 1983.
Moree, P. and Cazaran, J. "On a Claim of Ramanujan in His First Letter to Hardy." Expos. Math. 17, 289-312, 1999.
Selberg, A. Collected Papers, Vol. 2. Berlin: Springer-Verlag, pp. 183-185, 1991.
Shanks, D. "The Second-Order Term in the Asymptotic Expansion of ." Math. Comput. 18, 75-86, 1964.
Shanks, D. "Non-Hypotenuse Numbers." Fibonacci Quart. 13, 319-321, 1975.
Shanks, D. and Schmid, L. P. "Variations on a Theorem of Landau. I." Math. Comput. 20, 551-569, 1966.
Shiu, P. "Counting Sums of Two Squares: The Meissel-Lehmer Method." Math. Comput. 47, 351-360, 1986.
Sloane, N. J. A. Sequences A001481/M0968, A064533, A085990, and A164775 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."
Stanley, G. K. "Two Assertions Made by Ramanujan." J. London Math. Soc. 3, 232-237, 1928.
Stanley, G. K. Corrigendum to "Two Assertions Made by Ramanujan." J. London Math. Soc. 4, 32, 1929.
Wolfram Research, Inc. "Computing the Landau-Ramanujan Constant." https://library.wolfram.com/infocenter/Demos/120/.
الاكثر قراءة في نظرية الاعداد
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة

الآخبار الصحية
