A sequence of positive integers

(1)

is a nonaveraging sequence if it contains no three terms which are in an arithmetic progression, i.e., terms such that

(2)

for distinct , , . The empty set and sets of length one are therefore trivially nonaveraging.

Consider all possible subsets on the integers {1,2,...,n}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/NonaveragingSequence/Inline4.gif" style="height:15px; width:99px" />. There is one nonaveraging sequence on  (), two on  ( and {1}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/NonaveragingSequence/Inline9.gif" style="height:15px; width:17px" />), four on , and so on. For example, 13 of the 16 subjects of  are nonaveraging, with {1,2,3}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/NonaveragingSequence/Inline12.gif" style="height:15px; width:47px" />, {2,3,4}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/NonaveragingSequence/Inline13.gif" style="height:15px; width:47px" />, and {1,2,3,4}" src="https://mathworld.wolfram.com/images/equations/NonaveragingSequence/Inline14.gif" style="height:15px; width:62px" /> excluded. The numbers of nonaveraging subsets on , , ... are 1, 2, 4, 7, 13, 23, 40, ... (OEIS A051013).

Wróblewski (1984) showed that for infinite nonaveraging sequences,

(3)

REFERENCES:

Abbott, H. L. "On a Conjecture of Erdős and Straus on Non-Averaging Sets of Integers." In Proceedings of the Fifth British Combinatorial Conference, University of Aberdeen, Aberdeen, July 14-18, 1975 (Ed. C. St. J. A. Nash-Williams and J. Sheehan). Winnipeg, Manitoba, Canada: Utilitas Math. Pub., pp. 1-4, 1976.

Abbott, H. L. "Extremal Problems on Non-Averaging and Non-Dividing Sets." Pacific J. Math. 91, 1-12, 1980.

Abbott, H. L. "On the Erdős-Straus Non-Averaging Set Problem." Acta Math. Hungar. 47, 117-119, 1986.

Behrend, F. "On Sets of Integers which Contain no Three Terms in an Arithmetic Progression." Proc. Nat. Acad. Sci. USA 32, 331-332, 1946.

Finch, S. R. "Erdős' Reciprocal Sum Constants." §2.20 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 163-166, 2003.

Gerver, J. L. "The Sum of the Reciprocals of a Set of Integers with No Arithmetic Progression of  Terms." Proc. Amer. Math. Soc. 62, 211-214, 1977.

Gerver, J. L. and Ramsey, L. "Sets of Integers with no Long Arithmetic Progressions Generated by the Greedy Algorithm." Math. Comput. 33, 1353-1360, 1979.

Guy, R. K. "Nonaveraging Sets. Nondividing Sets." §C16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 131-132, 1994.

Sloane, N. J. A. Sequence A051013 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Straus, E. G. "Non-Averaging Sets." Proc. Symp. Pure Math 19, 215-222, 1971.

Wróblewski, J. "A Nonaveraging Set of Integers with a Large Sum of Reciprocals." Math. Comput. 43, 261-262, 1984.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الدينية يوزع أكثر من ألفي وجبة طعام للمعزين في ذكرى عاشوراء بنينوى

قسم الشؤون الطبية يواصل تقديم خدماته الصحية لزائري عاشوراء

جموع المعزين تحيي مراسم يوم العاشر من شهر المحرم عند المرقدين الطاهرين

قسم العلاقات يطلق محطات فتية الكفيل الثقافية في محافظة نينوى

المزيد

الآخبار الصحية

لهذا السبب.. إغلاق 25 مركزًا لعلاج الإدمان في مصر ؟

خلافا للاعتقاد الشائع.. علماء يكشفون أسرار بذور البطيخ ؟!

هذا ما يحدث لجسمك عند تناولك الطماطم بانتظام !

تعرف على أطعمة تسرّع "تعافي الجسم" من حروق الشمس

المزيد

الآخبار التكنلوجية

الثلوج تغطي الصحراء الأكثر جفافا في العالم!

بتلسكوب "ألما".. التقاط صورا غير مسبوقة لبدايات الكون !

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

المزيد