The recursive sequence generated by the recurrence equation

with . The first few values are 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, ... (OEIS A005185; Wolfram 2002, pp. 129-130, sequence (e)). These numbers are sometimes called -numbers. The Hofstadter -sequence can be implemented in the Wolfram Language as

Hofstadter[1] = Hofstadter[2] = 1;
Hofstadter[n_Integer?Positive] := Hofstadter[n] = Block[
   {$RecursionLimit = Infinity},
   Hofstadter[n - Hofstadter[n - 1]] +
    Hofstadter[n - Hofstadter[n - 2]]
   ]

There are currently no rigorous analyses or detailed predictions of the rather erratic behavior of  (Guy 1994). It has, however, been demonstrated that the chaotic behavior of the -numbers shows some signs of order, namely that they exhibit approximate period doubling, self-similarity and scaling (Pinn 1999, 2000). These properties are shared with the related sequence

with , which exhibits exact period doubling (Pinn 1999, 2000). The chaotic regions of  are separated by predictable smooth behavior.

REFERENCES:

Conolly, B. W. "Fibonacci and Meta-Fibonacci Sequences." In Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section (Ed. S. Vajda). New York: Halstead Press, pp. 127-138, 1989.

Dawson, R.; Gabor, G.; Nowakowski, R.; and Weins, D. "Random Fibonacci-Type Sequences." Fib. Quart. 23, 169-176, 1985.

Guy, R. "Some Suspiciously Simple Sequences." Amer. Math. Monthly 93, 186-191, 1986.

Guy, R. K. "Three Sequences of Hofstadter." §E31 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 231-232, 1994.

Hofstadter, D. R. Gödel, Escher Bach: An Eternal Golden Braid. New York: Vintage Books, pp. 137-138, 1980.

Kubo, T. and Vakil, R. "On Conway's Recursive Sequence." Disc. Math. 152, 225-252, 1996.

Mallows, C. L. "Conway's Challenge Sequence." Amer. Math. Monthly 98, 5-20, 1991.

Pickover, C. A. "The Crying of Fractal Batrachion ." Comput. & Graphics 19, 611-615, 1995. Reprinted in Chaos and Fractals, A Computer Graphical Journey: Ten Year Compilation of Advanced Research (Ed. C. A. Pickover). Amsterdam, Netherlands: Elsevier, pp. 127-131, 1998.

Pickover, C. A. "The Crying of Fractal Batrachion ." Ch. 25 in Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, pp. 183-191, 1995.

Pinn, K. "Order and Chaos is Hofstadter's  Sequence." Complexity 4, 41-46, 1999.

Pinn, K. "A Chaotic Cousin of Conway's Recursive Sequence." Exper. Math. 9, 55-66, 2000.

Sloane, N. J. A. Sequence A005185/M0438 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Tanny, S. M. "A Well-Behaved Cousin of the Hofstadter Sequence." Disc. Math. 105, 227-239, 1992.

Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign, IL: Wolfram Media, pp. 129-130, 2002.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

عباس.. طفل فقد والده فوجد في خدمة زائري عاشوراء وطنًا آمنًا

شعبة الخطابة النسوية تواصل إقامة مجالس العزاء في شهر المحرم الحرام

لليوم الخامس.. العتبة العباسية المقدسة تقيم مجلس عزاء في صحن مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

قسم الشؤون الفكرية يقيم مجلس عزاء حسيني في العاصمة التنزانية دار السلام

المزيد

الآخبار الصحية

لمن تجاوز الستين.. عليك بشرب 4 أكواب من القهوة يوميا ؟

الحليب مع العسل.. مزيج يمنحك 7 فوائد صحية

لا تبالغ في التنظيف.. قليل من "الاتساخ" قد يحمي عائلتك

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

المزيد

الآخبار التكنلوجية

هل هاتفك مراقب؟.. 5 علامات خطيرة تكشف التجسس عليك

دبي تطلق أول رحلة تجريبية للتاكسي الجوي

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

المزيد