المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
غزوة الحديبية والهدنة بين النبي وقريش
2024-11-01
بعد الحديبية افتروا على النبي « صلى الله عليه وآله » أنه سحر
2024-11-01
المستغفرون بالاسحار
2024-11-01
المرابطة في انتظار الفرج
2024-11-01
النضوج الجنسي للماشية sexual maturity
2024-11-01
المخرجون من ديارهم في سبيل الله
2024-11-01


Euler Transform  
  
1638   03:07 مساءً   date: 27-10-2020
Author : Abramowitz, M. and Stegun, I. A.
Book or Source : Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover
Page and Part : ...


Read More
Date: 1-12-2020 640
Date: 14-11-2020 582
Date: 5-3-2020 1335

Euler Transform

There are (at least) three types of Euler transforms (or transformations). The first is a set of transformations of hypergeometric functions, called Euler's hypergeometric transformations.

The second type of Euler transform is a technique for series convergence improvement which takes a convergent alternating series

 sum_(k=0)^infty(-1)^ka_k=a_0-a_1+a_2-...

(1)

into a series with more rapid convergence to the same value to

 s=sum_(k=0)^infty((-1)^kDelta^ka_0)/(2^(k+1)),

(2)

where the forward difference is defined by

 Delta^ka_0=sum_(m=0)^k=(-1)^m(k; m)a_(k-m)

(3)

(Abramowitz and Stegun 1972; Beeler et al. 1972). Euler's hypergeometric and convergence improvement transformations are related by the fact that when z=-1 is taken in the second of Euler's hypergeometric transformations

 _2F_1(a,b;c;z)=(_2F_1(c-a,b;c;z/(z-1)))/((1-z)^b),

(4)

where _2F_1(a,b,;c;z) is a hypergeometric function, it gives Euler's convergence improvement transformation of the series _2F_1(a,b;c;-1) (Abramowitz and Stegun 1972, p. 555).

The third type of Euler transform is a relationship between certain types of integer sequences (Sloane and Plouffe 1995, pp. 20-21). If a_1a_2, ... and b_1b_2, ... are related by

 1+sum_(n=1)^inftyb_nx^n=product_(i=1)^infty1/((1-x^i)^(a_i))

(5)

or, in terms of generating functions A(x) and B(x),

 1+B(x)=exp[sum_(k=1)^infty(A(x^k))/k],

(6)

then {b_n} is said to be the Euler transform of {a_n} (Sloane and Plouffe 1995, p. 20). The Euler transform can be effected by introducing the intermediate series c_1c_2, ... given by

 c_n=sum_(d|n)da_d,

(7)

then

 b_n=1/n[c_n+sum_(k=1)^(n-1)c_kb_(n-k)],

(8)

with b_1=c_1. Similarly, the inverse transform can be effected by computing the intermediate series as

 c_n=nb_n-sum_(k=1)^(n-1)c_kb_(n-k),

(9)

then

 a_n=1/nsum_(d|n)mu(n/d)c_d,

(10)

where mu(n) is the Möbius function.

In graph theory, if a_n is the number of unlabeled connected graphs on n nodes satisfying some property, then b_n is the total number of unlabeled graphs (connected or not) with the same property. This application of the Euler transform is called Riddell's formula for unlabeled graph (Sloane and Plouffe 1995, p. 20).

There are also important number theoretic applications of the Euler transform. For example, if there are a_1 kinds of parts of size 1, a_2 kinds of parts of size 2, etc., in a given type of partition, then the Euler transform b_n of a_n is the number of partitions of n into these integer parts. For example, if a_n=1 for all n, then b_n is the number of partitions of n into integer parts. Similarly, if a_n=1 for n prime and a_n=0 for n composite, then b_n is the number of partitions of n into prime parts (Sloane and Plouffe 1995, p. 21). Other applications are given by Andrews (1986), Andrews and Baxter (1989), and Cameron (1989).


REFERENCES:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 16, 1972.

Andrews, G. E. q-Series: Their Development and Application in Analysis, Number Theory, Combinatorics, Physics, and Computer Algebra. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1986.

Andrews, G. E. and Baxter, R. J. "A Motivated Proof of the Rogers-Ramanujan Identities." Amer. Math. Monthly 96, 401-409, 1989.

Beeler, M. et al. Item 120 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 55, Feb. 1972. https://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/series.html#item120.

Bernstein, M. and Sloane, N. J. A. "Some Canonical Sequences of Integers." Linear Algebra Appl. 226//228, 57-72, 1995.

Cameron, P. J. "Some Sequences of Integers." Disc. Math. 75, 89-102, 1989.

Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, p. 1163, 1980.

Sloane, N. J. A. and Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego, CA: Academic Press, pp. 20-21, 1995.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.