المرجع الالكتروني للمعلوماتية
المرجع الألكتروني للمعلوماتية

الرياضيات
عدد المواضيع في هذا القسم 9761 موضوعاً
تاريخ الرياضيات
الرياضيات المتقطعة
الجبر
الهندسة
المعادلات التفاضلية و التكاملية
التحليل
علماء الرياضيات

Untitled Document
أبحث عن شيء أخر
غزوة الحديبية والهدنة بين النبي وقريش
2024-11-01
بعد الحديبية افتروا على النبي « صلى الله عليه وآله » أنه سحر
2024-11-01
المستغفرون بالاسحار
2024-11-01
المرابطة في انتظار الفرج
2024-11-01
النضوج الجنسي للماشية sexual maturity
2024-11-01
المخرجون من ديارهم في سبيل الله
2024-11-01

كيفية التعامل مع الكفار
10-10-2014
الفوائد العلاجية للغذاء الملكي
5-6-2016
معنى كلمة ثيب
9-12-2015
Chebyshev Deviation
19-1-2019
الِاجْتِمَاعِ فِي الدُّعَاءِ – بحث روائي
26-9-2016
 Resonance Delocalization in BH+ Type Acids
12-7-2016

Prime Factor  
  
1334   03:06 مساءً   date: 15-9-2020
Author : Conway, J. H.; Dietrich, H.; O,Brien, E. A.
Book or Source : "Counting Groups: Gnus, Moas, and Other Exotica." Math. Intell. 30
Page and Part : ...


Read More
Date: 1-11-2019 650
Date: 16-1-2021 1575
Date: 20-10-2019 619

Prime Factor

A prime factor is a factor that is prime, i.e., one that cannot itself be factored. In general, a prime factorization takes the form

 n=p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)...p_k^(alpha_k),

(1)

where p_i are prime factors and alpha_i are their orders. Prime factorization can be performed in the Wolfram Language using the command FactorInteger[n], which returns a list of (p_i,alpha_i) pairs.

The following table gives the prime factorization for the positive integers <=50.

1 1 11 11 21 3·7 31 31 41 41
2 2 12 2^2·3 22 2·11 32 2^5 42 2·3·7
3 3 13 13 23 23 33 3·11 43 43
4 2^2 14 2·7 24 2^3·3 34 2·17 44 2^2·11
5 5 15 3·5 25 5^2 35 5·7 45 3^2·5
6 2·3 16 2^4 26 2·13 36 2^2·3^2 46 2·23
7 7 17 17 27 3^3 37 37 47 47
8 2^3 18 2·3^2 28 2^2·7 38 2·19 48 2^4·3
9 3^2 19 19 29 29 39 3·13 49 7^2
10 2·5 20 2^2·5 30 2·3·5 40 2^3·5 50 2·5^2

PrimeFactors

The number of not necessarily distinct prime factors of a number n is denoted Omega(n) (Hardy and Wright 1979, p. 354) or r(n). Conway et al. (2008) coined the term "multiprimality of n " to describe Omega(n), with semiprimes then being termed biprimes, numbers with three factors terms triprimes, etc. The number of prime factors is given in terms of the prime factorization above by

 Omega(n)=sum_(i=1)^kalpha_i.

(2)

The first few values for n=1, 2, ... are 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 4, 1, 3, 1, 3, ... (OEIS A001222). Omega(n) is plotted above up to n=100 (left) and n=1000 (right). The function Omega(n) is implemented in the Wolfram Language as PrimeOmega[n],

The function defined by lambda(n)=(-1)^(Omega(n)) is known as the Liouville function.

The number of distinct prime factors of a number n is denoted omega(n) (Hardy and Wright 1979, p. 354), or sometimes nu(n) or r(n), and is implemented in the Wolfram Language as PrimeNu[n].

For example, 4=2·2 has a single distinct prime factor, so omega(4)=1, but two total prime factors, so Omega(4)=2.

An asymptotic series for Omega(n) is given by

 Omega(n)∼lnlnn+B_2+sum_(k=1)^infty(-1+sum_(j=0)^(k-1)(gamma_j)/(j!))((k-1)!)/((lnn)^k)

(3)

(Diaconis 1976, Knuth 2000, Diaconis 2002, Finch 2003, Knuth 2003), where B_2 is a constant related to the Mertens constant and gamma_j are Stieltjes constants. Furthermore, the variance is given by

(4)

where

= B_2-T-1/6pi^2

(5)

= 0.76478...

(6)

(OEIS A091589), and

 T=sum_(k=1)^infty1/((p_k-1)^2) approx 1.37506...

(7)

(OEIS A086242; Finch 2003) is a convergent prime sum. The coefficients c_1 and c_2 are given by the sums

c_1 = gamma-1-2sum_(k=1)^(infty)(lnp_k)/((p_k-1)^2)

(8)

=

(9)

= 2.8767219464...

(10)

c_2 = -gamma_1-(gamma-1)[gamma-2sum_(k=1)^(infty)(lnp_k)/((p_k-1)^2)]-2sum_(k=1)^(infty)(p_k(lnp_k)^2)/((p_k-1)^3)

(11)

= 4.9035933594...

(12)

(Diaconis 1976, Knuth 2000, Diaconis 2002, Finch 2003, Knuth 2003), where

U = sum_(k=1)^(infty)(lnp_k)/((p_k-1)^2)

(13)

= 1.2269688...

(14)

V = sum_(k=1)^(infty)(p_k(lnp_k)^2)/((p_k-1)^3)

(15)

= 2.0914802...

(16)

(Finch 2003).

Similarly, if n is chosen at random between 1 and x, then the probability that

 Omega(n)<=lnlnn+csqrt(lnlnx)

(17)

approaches

 1/(sqrt(2pi))int_(-infty)^ce^(-u^2/2)du

(18)

as x->infty (Knuth 1998, p. 384). In addition, the average value t^_ of Omega(n)-lnlnx for 1<=n<=x approaches B_2 (Erdős and Kac 1940; Hardy and Wright 1979; Knuth 1998, p. 384)

PrimeFactorsAverageOrder

The average order of Omega(n) is

 Omega(n)∼lnlnn

(19)

(Hardy 1999, p. 51). More precisely,

 sum_(n<=x)Omega(n)=xlnlnx+Bx+O(x/(lnx)),

(20)

for appropriate constants A and B (Hardy and Ramanujan 1917; Hardy and Wright 1979, p. 355; Hardy 1999, p. 57), where O(x) is asymptotic notation.


REFERENCES:

Conway, J. H.; Dietrich, H.; O'Brien, E. A. "Counting Groups: Gnus, Moas, and Other Exotica." Math. Intell. 30, 6-18, 2008.

Diaconis, P. "Asymptotic Expansions for the Mean and Variance of the Number of Prime Factors of a Number n." Dept. Statistics Tech. Report 96, Stanford, CA: Stanford University, 1976.

Diaconis, P. "G. H. Hardy and Probability???" Bull. London Math. Soc. 34, 385-402, 2002.

Erdős, P. and Kac, M. "The Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Number Theoretic Functions." Amer. J. Math. 26, 738-742, 1940.

Finch, S. "Two Asymptotic Series." December 10, 2003. https://algo.inria.fr/bsolve/.

Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, 1999.

Hardy, G. H. and Ramanujan, S. Quart. J. Math. 48, 76-92, 1917.

Hardy, G. H. and Wright, E. M. §22.11 in An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed. Oxford, England: Clarendon Press, 1979.

Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 384, 1998.

Knuth, D. E. Selected Papers on Analysis of Algorithms. Stanford, CA: CSLI Publications, pp. 338-339, 2000.

Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 327, 2000.

Sloane, N. J. A. Sequences A001222/M0094, A001221/M0056, A030059, A083342, A086242, and A091589 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Turán, P. "On a Theorem of Hardy and Ramanujan." J. London Math. Soc. 9, 274-276, 1934.

Turán, P. "Über einige Verallgemeinerungen eines Satzes von Hardy und Ramanujan." J. London Math. Soc. 11, 125-133, 1936.




الجبر أحد الفروع الرئيسية في الرياضيات، حيث إن التمكن من الرياضيات يعتمد على الفهم السليم للجبر. ويستخدم المهندسون والعلماء الجبر يومياً، وتعول المشاريع التجارية والصناعية على الجبر لحل الكثير من المعضلات التي تتعرض لها. ونظراً لأهمية الجبر في الحياة العصرية فإنه يدرّس في المدارس والجامعات في جميع أنحاء العالم. ويُعجب الكثير من الدارسين للجبر بقدرته وفائدته الكبيرتين، إذ باستخدام الجبر يمكن للمرء أن يحل كثيرًا من المسائل التي يتعذر حلها باستخدام الحساب فقط.وجاء اسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي.


يعتبر علم المثلثات Trigonometry علماً عربياً ، فرياضيو العرب فضلوا علم المثلثات عن علم الفلك كأنهما علمين متداخلين ، ونظموه تنظيماً فيه لكثير من الدقة ، وقد كان اليونان يستعملون وتر CORDE ضعف القوسي قياس الزوايا ، فاستعاض رياضيو العرب عن الوتر بالجيب SINUS فأنت هذه الاستعاضة إلى تسهيل كثير من الاعمال الرياضية.

تعتبر المعادلات التفاضلية خير وسيلة لوصف معظم المـسائل الهندسـية والرياضـية والعلمية على حد سواء، إذ يتضح ذلك جليا في وصف عمليات انتقال الحرارة، جريان الموائـع، الحركة الموجية، الدوائر الإلكترونية فضلاً عن استخدامها في مسائل الهياكل الإنشائية والوصف الرياضي للتفاعلات الكيميائية.
ففي في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة . و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقات هذه المعادلات.