The Gauss-Kuzmin distribution is the distribution of occurrences of a positive integer  in the continued fraction of a random (or "generic") real number.

Consider  defined for a real number  by

			(1)
			(2)

so  is the fractional part of . This can be defined recursively through

(3)

and

(4)

with  and  simply the th term of the continued fraction .

The distribution  was considered by Gauss in a letter to Laplace dated January 30, 1812. In this letter, Gauss said that he could prove by a simple argument that if , sometimes denoted  (Havil 2003, p. 156), is the probability that  for a random , then

(5)

(Rockett and Szüsz 1992, pp. 151-152; Knuth 1998, p. 341; Havil 2003, p. 157). Histograms of  are illustrated above for 5000 terms of , the Euler-Mascheroni constant , Catalan's constant , and the natural logarithm of 2 .

However, Gauss was unable to describe the behavior of the correction term in

(6)

Kuz'min (1928) published the first analysis of the asymptotic behavior of , obtaining

(7)

with . Using a different method, Lévy (1929) obtained

(8)

with . Wirsing (1974) subsequently showed, among other results, that

(9)

where  is a constant known as Gauss-Kuzmin-Wirsing constant and  is an analytic function with .

It follows from Gauss's result that

			(10)
			(11)

(Bailey et al. 1997; Havil 2003, p. 158), where  and "Kuzmin" is sometimes also written as "Kuz'min." The plot above shows the distribution of the first 500 terms in the continued fractions of , , the Euler-Mascheroni constant , and the Copeland-Erdős constant . The distribution is properly normalized, since

(12)

REFERENCES:

Babenko, K. I. "On a Problem of Gauss." Soviet Math. Dokl. 19, 136-140, 1978.

Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; and Crandall, R. E. "On the Khintchine Constant." Math. Comput. 66, 417-431, 1997.

Daudé, H.; Flajolet, P.; and Vallé, B. "An Average-Case Analysis of the Gaussian Algorithm for Lattice Reduction." Combin. Probab. Comput. 6, 397-433, 1997.

Durner, A. "On a Theorem of Gauss-Kuzmin-Lévy." Arch. Math. 58, 251-256, 1992.

Finch, S. R. "Gauss-Kuzmin-Wirsing Constant." §2.17 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 151-156, 2003.

Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 155-159, 2003.

Khinchin, A. Ya. "Gauss's Problem and Kuz'min's Theorem." §15 in Continued Fractions. New York: Dover, pp. 71-86, 1997.

Knuth, D. E. The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1998.

Kuz'min, R. O. "A Problem of Gauss." Dokl. Akad. Nauk, Ser. A, 375-380, 1928.

Kuz'min, R. O. "Sur un problème de Gauss." Anni Congr. Intern. Bologne 6, 83-89, 1928.

Lévy, P. "Sur les lois de probabilité dont dependent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue." Bull. Soc. Math. France 57, 178-194, 1929.

Lévy, P. "Sur les lois de probabilité dont dependent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue." Bull. Soc. Math. France 57, 178-194, 1929.

Rockett, A. M. and Szüsz, P. "The Gauss-Kuzmin Theorem." §5.5 in Continued Fractions. New York: World Scientific, pp. 151-155, 1992.

Wirsing, E. "On the Theorem of Gauss-Kuzmin-Lévy and a Frobenius-Type Theorem for Function Spaces." Acta Arith. 24, 507-528, 1974.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الإعلام يشارك في الاجتماع التحضيري لمناقشة الخطة الإعلامية لزيارة عاشوراء

بحضور متوليها الشرعي.. العتبة العباسية المقدسة تواصل إقامة المجالس الحسينية لإحياء شهر المحرم

قسم الشؤون الفكرية يطلق برنامجه التبليغي في أكثر من 20 دولة إفريقية

شعبتا الخطابة النسوية والتوجيه الديني تواصلان إقامة المجالس الحسينية في مرقد أبي الفضل العباس (عليه السلام)

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد